Calcule os seguintes limites abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse problema tá na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar substituir o valor que x se aproxima e, se necessário, fatorar os polinômios para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo:
A gente obteve
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada como
, uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Vamos começar fatorando o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados:
Agora, precisamos fatorar o numerador
.
Passo 4
Para fatorar o numerador, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 3 (termo constante) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja,
,
.
Vamos testar
:
Como
é uma raiz, podemos dividir o polinômio por
usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.
Passo 5
Dividindo
por
, encontramos:
Agora, precisamos fatorar o polinômio quartico
.
Passo 6
Aplicando o Teorema das Raízes Racionais novamente para
, testamos
:
Testando
:
Testando
:
Parece que não temos raízes racionais adicionais, então permanecemos com a fatoração:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original do limite:
Agora, podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador:
Passo 8
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir
diretamente:
Resposta
O limite é
.
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