Calcule os seguintes limites abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema tá na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar substituir o valor que x se aproxima e, se necessário, fatorar os polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo:
A gente obteve , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada como , uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Vamos começar fatorando o denominador . Isso é uma diferença de quadrados:
Agora, precisamos fatorar o numerador .

Passo 4

Para fatorar o numerador, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 3 (termo constante) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja, , .
Vamos testar :
Como é uma raiz, podemos dividir o polinômio por usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.

Passo 5

Dividindo por , encontramos:
Agora, precisamos fatorar o polinômio quartico .

Passo 6

Aplicando o Teorema das Raízes Racionais novamente para , testamos :
Testando :
Testando :
Parece que não temos raízes racionais adicionais, então permanecemos com a fatoração:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original do limite:
Agora, podemos cancelar o fator comum no numerador e no denominador:

Passo 8

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir diretamente:

Resposta

O limite é .

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