Calcule os seguintes limites abaixo lim x 1 x^5-6 x^3+8 x-3x^4-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 x^5-6 x^3+8 x-3x^4-1. Esse problema tá na área de Cálculo, especificamente tratando de limites envolvendo funções polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar substituir o valor que x se aproxima e, se necessário, fatorar os polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 1 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo:
1^5 - 6 cdot 1^3 + 8 cdot 1 - 31^4 - 1 = 1 - 6 + 8 - 31 - 1 = 00
A gente obteve 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada como 00, uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Vamos começar fatorando o denominador x^4 - 1. Isso é uma diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Agora, precisamos fatorar o numerador x^5 - 6x^3 + 8x - 3.

Passo 4

Para fatorar o numerador, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 3 (termo constante) sobre os divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja, pm1, pm3.
Vamos testar x = 1:
1^5 - 6 cdot 1^3 + 8 cdot 1 - 3 = 1 - 6 + 8 - 3 = 0
Como x = 1 é uma raiz, podemos dividir o polinômio por (x - 1) usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini.

Passo 5

Dividindo x^5 - 6x^3 + 8x - 3 por (x - 1), encontramos:
x^5 - 6x^3 + 8x - 3 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 - 5x - 3)
Agora, precisamos fatorar o polinômio quartico x^4 + x^3 + x^2 - 5x - 3.

Passo 6

Aplicando o Teorema das Raízes Racionais novamente para x^4 + x^3 + x^2 - 5x - 3, testamos x = 1:
1^4 + 1^3 + 1^2 - 5 cdot 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 5 - 3 = -5 neq 0
Testando x = 3:
3^4 + 3^3 + 3^2 - 5 cdot 3 - 3 = 81 + 27 + 9 - 15 - 3 = 99 neq 0
Testando x = -1:
(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - 5 cdot (-1) - 3 = 1 - 1 + 1 + 5 - 3 = 3 neq 0
Parece que não temos raízes racionais adicionais, então permanecemos com a fatoração:
x^5 - 6x^3 + 8x - 3 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 - 5x - 3)

Passo 7

Voltando à nossa expressão original do limite:
limx 1 (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 - 5x - 3)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Agora, podemos cancelar o fator comum (x - 1) no numerador e no denominador:
limx 1 x^4 + x^3 + x^2 - 5x - 3(x + 1)(x^2 + 1)

Passo 8

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir x = 1 diretamente:
1^4 + 1^3 + 1^2 - 5 cdot 1 - 3(1 + 1)(1^2 + 1) = 1 + 1 + 1 - 5 - 32 cdot 2 = -54 = -54

Resposta

O limite é -54.

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