Calcular a área entre as curvas no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área entre as curvas e no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integração que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual das duas curvas está por cima no intervalo dado. Olhando para e , podemos ver que é uma parábola que abre pra baixo e está sempre acima de nesse intervalo. Isso significa que a curva é a função de cima (função superior) e é a função de baixo (função inferior).

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre essas curvas, vamos montar uma integral definida que subtrai a função de baixo da função de cima, e integra isso de até . A fórmula que vamos usar é:
Á
Simplificando dentro da integral:
Á

Passo 4

Vamos agora resolver essa integral. Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando cada parte:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de e :
Primeiro, para :
Depois, para :
Agora, subtraímos o segundo valor do primeiro:

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo de a é unidades de área.

Exercícios relacionados

  • (0,5 pts) Encontre e verifique que é o mesmo polinômio encontrado no item anterior. Além disso, mostre que
(a)
Calcular a área compreendida entre a curva , o eixo x , e as ordenadas correspondentes às abcissas .
Calcule a área compreendida entre a curva , o eixo x e as retas e .