• (0,5 pts) Encontre d(x) e verifique que é o mesmo polinômio encontrado no item anterior. Além disso, mostre que
lim x infty r(x)q(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio lim x infty r(x)q(x)=0 e verificar se ele é o mesmo que encontramos no item anterior. Além disso, temos que mostrar que:
Então, estamos lidando com divisão de polinômios aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir polinômios e trabalhar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dividimos um polinômio q(x) = d(x) cdot g(x) + r(x) por outro polinômio , obtemos um quociente e um resto . A relação fica assim:
Onde é o divisor e é o resto da divisão. Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Para encontrar , precisamos realizar a divisão de por . Suponhamos que, no item anterior, já fizemos essa divisão e encontramos um polinômio . Agora, vamos refazer esse processo para garantir que é realmente o mesmo.

Passo 4

Vamos realizar a divisão de q(x) = 2x^3 + 3x^2 + x + 5 por g(x) = x + 1 . Suponha que:
(2x^3 + 3x^2 + x + 5) - (2x^2(x + 1)) = (2x^3 + 3x^2 + x + 5) - (2x^3 + 2x^2) = x^2 + x + 5
E queremos dividir por:
x^2x = x
Vamos aplicar a divisão polinomial passo a passo:
  1. Dividimos o termo de maior grau de x(x + 1) = x^2 + x pelo termo de maior grau de (x^2 + x + 5) - (x^2 + x) = 5 : d(x) = 2x^2 + x . Esse é o primeiro termo de .
  2. Multiplicamos por e subtraímos do :
  3. Repetimos o processo com o novo polinômio : Multiplicando por : Subtraindo:
  4. Como o grau do resto é menor que o de , paramos aqui.
Então, o quociente é:

Passo 5

Agora, vamos verificar se esse é o mesmo que encontramos no item anterior. Se no item anterior também obtivemos , então está tudo certo!

Passo 6

Por fim, precisamos mostrar que:
lim x infty r(x)q(x)=0
Sabemos que o resto da divisão foi lim x infty 52x^3 + 3x^2 + x + 5 . Então, substituindo na expressão do limite:
À medida que tende ao infinito, o denominador cresce sem limite, enquanto o numerador permanece constante. Dividindo um número constante por algo que cresce sem limite, o resultado tende a zero.

Resposta

Portanto,
d(x) = 2x^2 + x
E,
lim x infty r(x)q(x)=0

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