Calcular a área entre as curvas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área entre as curvas e . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na determinação da área delimitada por duas funções. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam, ou seja, onde . Isso porque a área entre elas está limitada por esses pontos de interseção.

Passo 3

Resolvendo a equação :
Essa é uma equação quadrática da forma . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora que temos os limites de integração, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor entre os dois pontos de interseção, por exemplo, :
Aqui, , então está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções acima e abaixo:
Substituindo:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área definida.

Passo 8

Avaliar a integral nos limites de e :
Calculando essa expressão, obtemos o valor numérico da área.

Resposta

Após realizar os cálculos, a área entre as curvas e é igual a unidades de área.

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