Calcular a área limitada pela curva dada:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria envolvendo coordenadas polares. A missão é calcular a área encerrada pela curva definida por no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os limites de integração para . No nosso caso, e vai de a .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Primeiro, elevamos ao quadrado:
Agora, a fórmula da área fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Multiplicando por :
Agora, precisamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo por termo. A integral se torna:
Vamos resolver cada parte:
  1. (porque o seno é uma função que tem área positiva e negativa iguais sobre um ciclo completo)
  2. (usando a identidade trigonométrica )

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais:

Resposta

A área limitada pela curva de a é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Descreva o gráfico da equação em três dimensões:
Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
mesmo exercício que o anterior, considerando a função .
Calcule e .
Calcule a derivada.