Calcular a área limitada pela curva dada:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria envolvendo coordenadas polares. A missão é calcular a área encerrada pela curva definida por
no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é a função que define a curva, e
e
são os limites de integração para
. No nosso caso,
e
vai de
a
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula. Primeiro, elevamos
ao quadrado:
Agora, a fórmula da área fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Multiplicando
por
:
Agora, precisamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo por termo. A integral se torna:
Vamos resolver cada parte:
-
-
(porque o seno é uma função que tem área positiva e negativa iguais sobre um ciclo completo) -
(usando a identidade trigonométrica )
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais:
Resposta
A área limitada pela curva
de
a
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Descreva o gráfico da equação em três dimensões:
Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
mesmo exercício que o anterior, considerando a função
.
Calcule e
.
Calcule
Calcule a derivada.