Descreva o gráfico da equação em três dimensões: z = 4 r^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação em três dimensões . Aqui, r representa a distância radial no plano xy. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço e coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é r. Nas coordenadas cilíndricas, r é a distância do ponto até o eixo z, calculada por . Assim, podemos reescrever a equação original em termos das coordenadas cartesianas:

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de superfície essa equação representa. A forma é conhecida como um paraboloide elíptico. No nosso caso, , então temos um paraboloide que se abre na direção positiva do eixo z.

Passo 4

Para visualizar melhor, imagine que para cada valor de z, a equação descreve um círculo no plano xy com raio . Conforme z aumenta, o raio desses círculos também aumenta, formando uma superfície curva que se alarga à medida que sobe no eixo z.

Resposta

O gráfico da equação é um paraboloide circular que se abre para cima no eixo z. Ele começa na origem e se expande formando círculos maiores conforme z aumenta.

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