Encontrar o comprimento de arco da curva dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva dada pela equação polar no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de comprimentos de arco em coordenadas polares, que envolvem derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é o comprimento do arco, é a função que descreve a curva, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
Precisamos calcular . Fazendo a derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando :
Sabemos que , então:

Passo 6

Voltando à integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

Portanto, o comprimento de arco da curva é .

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