Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco da curva dada pela equação polar no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de comprimentos de arco em coordenadas polares, que envolvem derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento do arco,
é a função que descreve a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa função:
Precisamos calcular
. Fazendo a derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando
:
Sabemos que , então:
Passo 6
Voltando à integral, temos:
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Resposta
Portanto, o comprimento de arco da curva é
.
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