Calcular a área limitada pela curva dada:

Passo 1

Vamos calcular a área limitada pela curva no intervalo . Esse problema envolve conhecimentos de geometria polar, especificamente sobre como determinar áreas de figuras definidas por equações polares. Para resolver, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares:
Aqui, é a função que define a curva, e e são os limites do ângulo .

Passo 3

No nosso caso, a curva é e o intervalo de é de a . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar os constantes fora da integral:

Passo 6

Para resolver a integral de , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais:

Resposta

A área limitada pela curva no intervalo é .

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