Calcular a área limitada pela curva dada:
Passo 1
Vamos calcular a área limitada pela curva
no intervalo
. Esse problema envolve conhecimentos de geometria polar, especificamente sobre como determinar áreas de figuras definidas por equações polares. Para resolver, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área
de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares:
Aqui,
é a função que define a curva, e
e
são os limites do ângulo
.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
e o intervalo de
é de
a
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, podemos simplificar os constantes fora da integral:
Passo 6
Para resolver a integral de
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais:
Resposta
A área limitada pela curva
no intervalo
é
.
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, de
até
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