Transforme a equação para coordenadas esféricas: x^2 + (y - 2)^2 = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação passando das coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar saber como fazem a conversão entre esses dois sistemas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que convertem de coordenadas cartesianas para esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano a partir do eixo , e é o ângulo a partir do eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na equação original. Como a equação não envolve , vamos focar apenas em e :

Passo 4

Vamos expandir os termos:

Passo 5

Observando que , podemos simplificar:

Passo 6

Subtraindo 4 de ambos os lados para simplificar:

Passo 7

Fatorando :
Isso nos dá duas possibilidades: ou . A primeira opção corresponde ao eixo , e a segunda nos dá a relação desejada.

Resposta

A equação transformada para coordenadas esféricas é:

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