Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
, de até

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício onde precisamos achar o comprimento do arco da curva dada por , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica em coordenadas polares e a fórmula do comprimento de arco nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Nessa expressão:
  • é o comprimento do arco.
  • é a função que descreve a curva.
  • é a derivada de em relação a .
  • e são os limites de que delimitam o intervalo do arco que queremos calcular.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • A função da curva é .
  • Os limites de integração são de até .
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na fórmula do comprimento de arco, temos:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um valor definido.

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Como , simplificamos para:

Resposta

O comprimento do arco da curva de até é:

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