Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
, de
até
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício onde precisamos achar o comprimento do arco da curva dada por
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica em coordenadas polares e a fórmula do comprimento de arco nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Nessa expressão:
-
é o comprimento do arco. -
é a função que descreve a curva. -
é a derivada de em relação a . -
e são os limites de que delimitam o intervalo do arco que queremos calcular.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- A função da curva é
. - Os limites de integração são de
até .
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do comprimento de arco, temos:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um valor definido.
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Como
, simplificamos para:
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
até
é:
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