Calcular a área do paralelograma definido pelos vetores u=(3,1,2) e v=(4,-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, -1, 0). Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o produto vetorial. Vamos precisar entender como calcular esse produto e depois encontrar a magnitude (ou tamanho) do resultado para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o produto vetorial. Ele é uma operação entre dois vetores que resulta em um terceiro vetor, perpendicular aos dois primeiros. No contexto de calcular a área de um paralelogramo, a magnitude desse vetor resultante nos dá exatamente a área que queremos. A fórmula do produto vetorial de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, -1, 0):
u times v = ( (1)(0) - (2)(-1), (2)(4) - (3)(0), (3)(-1) - (1)(4) )
u times v = ( 0 + 2, 8 - 0, -3 - 4 )
u times v = ( 2, 8, -7 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor w = (w₁, w₂, w₃) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor u × v = (2, 8, -7):
|u times v| = raiz2^2 + 8^2 + (-7)^2 = raiz4 + 64 + 49 = raiz117

Resposta

A área do paralelogramo definido pelos vetores u e v é raiz117 unidades de área, ou aproximadamente 10,816 unidades.

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