Calcular a área do paralelograma definido pelos vetores u=(3,1,2) e v=(4,-1,0).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, -1, 0). Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o produto vetorial. Vamos precisar entender como calcular esse produto e depois encontrar a magnitude (ou tamanho) do resultado para determinar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o produto vetorial. Ele é uma operação entre dois vetores que resulta em um terceiro vetor, perpendicular aos dois primeiros. No contexto de calcular a área de um paralelogramo, a magnitude desse vetor resultante nos dá exatamente a área que queremos. A fórmula do produto vetorial de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores u = (3, 1, 2) e v = (4, -1, 0):
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante para encontrar a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor w = (w₁, w₂, w₃) é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor u × v = (2, 8, -7):
Resposta
A área do paralelogramo definido pelos vetores u e v é
unidades de área, ou aproximadamente 10,816 unidades.