O volume do sólido limitado pelos planos z=0, x=-2, x=2, y=-2 e y=2 e o paraboloide z=9 - x² - y ² é :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por alguns planos e um paraboloide. A equação do paraboloide é $ z = 9 - x^2 - y^2 $, e os planos que limitam o sólido são $ z = 0 $, $ x = -2 $, $ x = 2 $, $ y = -2 $ e $ y = 2 $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos. O paraboloide $ z = 9 - x^2 - y^2 $ abre para baixo e intercepta o plano $ z = 0 $ quando $ 9 - x^2 - y^2 = 0 $. Resolvendo isso, temos $ x^2 + y^2 = 9 $, o que descreve um círculo com raio 3 no plano $ z = 0 $.

Passo 3

Entretanto, nossos limites para $ x $ e $ y $ são de -2 a 2. Isso significa que nosso sólido está dentro de um quadrado no plano $ z = 0 $ com lados de comprimento 4, centrado na origem. Por isso, vamos integrar dentro desse quadrado, já que ele está completamente dentro do círculo do paraboloide.

Passo 4

Para encontrar o volume, precisamos integrar a função $ z = 9 - x^2 - y^2 $ sobre a região $ -2 \leq x \leq 2 $ e $ -2 \leq y \leq 2 $. A integral dupla para o volume $ V $ fica assim:
z = 9 - x^2 - y^2

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
integral-2^2 (9 - x^2 - y^2) , dy = integral-2^2 (9 - x^2) , dy - integral-2^2 y^2 , dy
= (9 - x^2)(y) |-2^2 - ( y^33 ) |-2^2
= (9 - x^2)(2 - (-2)) - ( 83 - ( -83 ) )
= (9 - x^2)(4) - ( 163 )
= 36 - 4x^2 - 163
= 1083 - 12x^23 - 163

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ x $:
x
V = integral-2^2 92 - 12x^23 , dx = 13 integral-2^2 (92 - 12x^2) , dx
= 13 [ 92x - 12 cdot x^33 ] |-2^2
= 13 [ 92(2) - 4(2)^3 - (92(-2) - 4(-2)^3) ]
= 13 [ 184 - 32 - (-184 + 32) ]
= 13 [ 152 + 152 ]

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{304}{3} $ unidades cúbicas.

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