O volume do sólido limitado pelos planos z=0, x=-2, x=2, y=-2 e y=2 e o paraboloide z=9 - x² - y ² é :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por alguns planos e um paraboloide. A equação do paraboloide é $ z = 9 - x^2 - y^2 $, e os planos que limitam o sólido são $ z = 0 $, $ x = -2 $, $ x = 2 $, $ y = -2 $ e $ y = 2 $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que temos. O paraboloide $ z = 9 - x^2 - y^2 $ abre para baixo e intercepta o plano $ z = 0 $ quando $ 9 - x^2 - y^2 = 0 $. Resolvendo isso, temos $ x^2 + y^2 = 9 $, o que descreve um círculo com raio 3 no plano $ z = 0 $.
Passo 3
Entretanto, nossos limites para $ x $ e $ y $ são de -2 a 2. Isso significa que nosso sólido está dentro de um quadrado no plano $ z = 0 $ com lados de comprimento 4, centrado na origem. Por isso, vamos integrar dentro desse quadrado, já que ele está completamente dentro do círculo do paraboloide.
Passo 4
Para encontrar o volume, precisamos integrar a função $ z = 9 - x^2 - y^2 $ sobre a região $ -2 \leq x \leq 2 $ e $ -2 \leq y \leq 2 $. A integral dupla para o volume $ V $ fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ x $:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{304}{3} $ unidades cúbicas.