Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, sabendo que suas diagonais são u+v=(-1,3,4) e u-v=(1,-1,2).
Resp: raiz35

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo que é determinado por dois vetores, u e v. O enunciado nos dá as diagonais desse paralelogramo, que são u + v = (-1, 3, 4) e u - v = (1, -1, 2). Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores u e v a partir das diagonais. Vamos somar e subtrair as diagonais para isolar u e v.
Somando as diagonais:
u + v + u - v = (-1, 3, 4) + (1, -1, 2) = (0, 2, 6)
Então:
2u = (0, 2, 6) implies u = (0, 1, 3)
Subtraindo as diagonais:
u + v - (u - v) = (-1, 3, 4) - (1, -1, 2) = (-2, 4, 2)
Então:
2v = (-2, 4, 2) implies v = (-1, 2, 1)

Passo 3

Agora que temos os vetores u = (0, 1, 3) e v = (-1, 2, 1), vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial de dois vetores em 3D é dado por:
u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3
Substituindo os valores:
u times v = i & j & k 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 1 = i(1 cdot 1 - 3 cdot 2) - j(0 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + k(0 cdot 2 - 1 cdot (-1))
Simplificando:
u times v = i(1 - 6) - j(0 + 3) + k(0 + 1) = -5i - 3j + 1k = (-5, -3, 1)

Passo 4

A área do paralelogramo é igual à magnitude do produto vetorial de u e v. Para encontrar a magnitude de u times v = (-5, -3, 1), usamos a fórmula:
|u times v| = raiz(-5)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz25 + 9 + 1 = raiz35

Resposta

raiz35

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