Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paralelogramo que é determinado por dois vetores, e . O enunciado nos dá as diagonais desse paralelogramo, que são e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores e a partir das diagonais. Vamos somar e subtrair as diagonais para isolar e .
Somando as diagonais:
Então:
Subtraindo as diagonais:
Então:
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores em 3D é dado por:
Substituindo os valores:
u times v = i & j & k 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 1 = i(1 cdot 1 - 3 cdot 2) - j(0 cdot 1 - 3 cdot (-1)) + k(0 cdot 2 - 1 cdot (-1))
Simplificando:
u times v = i(1 - 6) - j(0 + 3) + k(0 + 1) = -5i - 3j + 1k = (-5, -3, 1)
Passo 4
A área do paralelogramo é igual à magnitude do produto vetorial de u e v. Para encontrar a magnitude de u times v = (-5, -3, 1), usamos a fórmula: