Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde vamos precisar calcular derivadas parciais, montar a matriz Hessiana e analisar os autovalores dessa matriz para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Agora, igualamos
e
a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Da equação (2):
Substituímos
na equação (1):
Resolvendo:
Agora, encontramos os valores correspondentes de
:
- Quando
: - Quando
: - Quando
:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana
é:
Passo 5
Vamos avaliar a matriz Hessiana em cada ponto crítico e encontrar os autovalores para classificar os pontos.
Ponto (0, 0):
Os autovalores são
e
(ambos negativos), então o ponto é um máximo local.
Ponto (2, -2):
Calculando os autovalores, encontramos que um é positivo e outro negativo, então o ponto é um ponto de sela.
Ponto (-4, -8):
Novamente, os autovalores são de sinais opostos, então esse ponto também é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
que é um máximo local,
e
que são pontos de sela.
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(3) Sejam
subespaços de
. Determine a dimensão de
e se for possível encontre uma base para o subespaço vetorial.
(1) Encontre uma base e a dimensão para os seguintes espaços vetoriais.
(a) ,
(a)
Dados os vetores
e
, encontre:
a) ;
a)
Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores
e
, sabendo que suas diagonais são
e
.
Resp:
Resp: