Encontre e classifique os pontos críticos das funções abaixo à partir do conceito de autovalores e a matriz hessiana.
f(x, y)=2 x^3-3 x^2 y-12 x^2-3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde vamos precisar calcular derivadas parciais, montar a matriz Hessiana e analisar os autovalores dessa matriz para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de fx = partial fpartial x = 6x^2 - 6xy - 24x em relação a fy = partial fpartial y = -3x^2 - 6y e 6x^2 - 6xy - 24x = 0 (1) , e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a -3x^2 - 6y = 0 (2) é:
A derivada parcial em relação a é:
Agora, igualamos e a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar os valores de -3x^2 - 6y = 0 Rightarrow y = -3x^26 = -x^22 e 6x^2 - 6x(-x^22) - 24x = 0 .
Da equação (2):
6x^2 + 3x^3 - 24x = 0
Substituímos 3x^3 + 6x^2 - 24x = 0 na equação (1):
3x(x^2 + 2x - 8) = 0
x = 0 ou x^2 + 2x - 8 = 0
x = 0 ou x = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm 62
x = 0 ou x = 2 ou x = -4
Resolvendo:
(0, 0), (2, -2), (-4, -8)
Agora, encontramos os valores correspondentes de :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a matriz Hessiana.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x - 6y - 24
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -6
A matriz Hessiana H = fxx & fxy fxy & fyy = 12x - 6y - 24 & -6x -6x & -6 é:

Passo 5

Vamos avaliar a matriz Hessiana em cada ponto crítico e encontrar os autovalores para classificar os pontos.
Ponto (0, 0):
H = 12(0) - 6(0) - 24 & -6(0) -6(0) & -6 = -24 & 0 0 & -6
Os autovalores são H = 12(2) - 6(-2) - 24 & -6(2) -6(2) & -6 = 24 + 12 - 24 & -12 -12 & -6 = 12 & -12 -12 & -6 e H = 12(-4) - 6(-8) - 24 & -6(-4) -6(-4) & -6 = -48 + 48 - 24 & 24 24 & -6 = -24 & 24 24 & -6 (ambos negativos), então o ponto é um máximo local.
Ponto (2, -2):
Calculando os autovalores, encontramos que um é positivo e outro negativo, então o ponto é um ponto de sela.
Ponto (-4, -8):
Novamente, os autovalores são de sinais opostos, então esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são que é um máximo local, e que são pontos de sela.

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