Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Os espaços V e W são isomorfos se existir uma transformação linear T: V W bijetora e dim(V).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre espaços vetoriais e isomorfismo, que envolve transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser bijetora e como as dimensões dos espaços vetoriais entram nessa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Agora, para que seja um isomorfismo, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora (nenhum elemento de mapeia para o mesmo elemento em ) e sobretora (todos os elementos de são atingidos por ).

Passo 3

Agora, vamos pensar nas dimensões dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, a quantidade mínima de vetores necessários para gerar todo o espaço. Uma propriedade importante é que se existe uma transformação linear injetora de para , então . Similarmente, se existe uma transformação linear sobrejetora de para , então .

Passo 4

Então, para que seja bijetora, precisamos que seja injetora e sobrejetora simultaneamente. Isso só é possível se as dimensões dos espaços vetoriais forem iguais, ou seja, . Se , não conseguimos ter uma transformação linear sobrejetora, pois não tem elementos suficientes para cobrir todo .

Resposta

Falso. Para que e sejam isomorfos, é necessário que . Se , não existe uma transformação linear bijetora entre eles.

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