Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Os espaços
e
são isomorfos se existir uma transformação linear
bijetora e
.
Os espaços
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre espaços vetoriais e isomorfismo, que envolve transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação linear ser bijetora e como as dimensões dos espaços vetoriais entram nessa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função
entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Agora, para que
seja um isomorfismo, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora (nenhum elemento de
mapeia para o mesmo elemento em
) e sobretora (todos os elementos de
são atingidos por
).
Passo 3
Agora, vamos pensar nas dimensões dos espaços vetoriais. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço, ou seja, a quantidade mínima de vetores necessários para gerar todo o espaço. Uma propriedade importante é que se existe uma transformação linear injetora de
para
, então
. Similarmente, se existe uma transformação linear sobrejetora de
para
, então
.
Passo 4
Então, para que
seja bijetora, precisamos que
seja injetora e sobrejetora simultaneamente. Isso só é possível se as dimensões dos espaços vetoriais forem iguais, ou seja,
. Se
, não conseguimos ter uma transformação linear sobrejetora, pois
não tem elementos suficientes para cobrir todo
.
Resposta
Falso. Para que
e
sejam isomorfos, é necessário que
. Se
, não existe uma transformação linear bijetora entre eles.
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Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores
e
, sabendo que suas diagonais são
e
.
Resp:
Resp:
Dados os vetores
e
, encontre:
a) ;
a)
(4) Determine se o conjunto
é L.D. ou L.I.
(a) ,
(a)
Dados os vetores
e
, encontre:
c) ;
c)