Calcular à área da região comprendida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração para encontrar áreas entre curvas. Precisaremos identificar onde as duas curvas se cruzam e, em seguida, integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação
. Fica meio complicado resolver isso diretamente porque temos uma equação transcendental, mas vamos dar uma olhada nos valores de
onde isso acontece.
Passo 3
Vamos tentar valores simples de
:
-
Para
: Então,é um ponto de interseção. -
Para
: Então,também é um ponto de interseção.
Esses parecem ser os únicos pontos de interseção entre 0 e 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar qual das duas funç��es está por cima da outra nesse intervalo de
entre 0 e 1. Vamos verificar alguns valores:
- No meio do intervalo, por exemplo,
: Aqui, está acima de .
Então, entre
e
, a curva
está acima de
.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da área entre curvas:
onde
é a função de cima e
a de baixo. No nosso caso,
e
, com limites de integração de
a
.
Passo 6
Vamos montar a integral:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, aplicando isso na nossa integral:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Passo 9
Vamos simplificar os termos constantes:
Resposta
A área da região compreendida pelas curvas
e
é:
Exercícios relacionados
(a) Encontre
. Como está relacionada a
?
Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(b)
(b)
Calcular o volume do sólido limitado pleos planos coordenados, os planos
e o paraboloide elíptico
Calcular o volume do sólido limitado por