Calcular à área da região comprendida por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração para encontrar áreas entre curvas. Precisaremos identificar onde as duas curvas se cruzam e, em seguida, integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação . Fica meio complicado resolver isso diretamente porque temos uma equação transcendental, mas vamos dar uma olhada nos valores de onde isso acontece.

Passo 3

Vamos tentar valores simples de :
  • Para :
    Então, é um ponto de interseção.
  • Para :
    Então, também é um ponto de interseção.
Esses parecem ser os únicos pontos de interseção entre 0 e 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar qual das duas funç��es está por cima da outra nesse intervalo de entre 0 e 1. Vamos verificar alguns valores:
  • No meio do intervalo, por exemplo, : Aqui, está acima de .
Então, entre e , a curva está acima de .

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da área entre curvas:
Á
onde é a função de cima e a de baixo. No nosso caso, e , com limites de integração de a .

Passo 6

Vamos montar a integral:
Á
Simplificando dentro da integral:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, aplicando isso na nossa integral:
Á

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, a área é:

Passo 9

Vamos simplificar os termos constantes:

Resposta

A área da região compreendida pelas curvas e é:
Áá

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