Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a sequência
é limitada. Isso faz parte da matéria de sequências e limites. Para mostrar que a sequência é limitada, precisamos encontrar um número que seja maior que todos os termos da sequência. Vamos descobrir juntos como fazer isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa. Aqui,
representa o logaritmo de
, que cresce muito devagar conforme
aumenta. Já
cresce bem rapidinho porque é o quadrado de
. Então, estamos dividindo algo que cresce devagar por algo que cresce rápido. Isso já dá uma pista de que os termos da sequência devem diminuir conforme
aumenta.
Passo 3
Para ter certeza de que essa sequência não fica ficando cada vez maior, vamos tentar encontrar o ponto onde
atinge o seu valor máximo. Se conseguirmos encontrar esse máximo, esse será o nosso limite superior para a sequência.
Passo 4
Vamos tratar
como uma variável contínua para facilitar os cálculos. Vamos derivar a função
em relação a
para achar onde a derivada é zero (ponto de máximo).
A derivada de
é:
Igualando a derivada a zero:
Isso significa que a função atinge seu máximo quando
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor máximo da sequência substituindo
na expressão original:
Portanto, o valor máximo da sequência é
.
Resposta
A sequência
é limitada e todos os seus termos são menores ou iguais a
.