Utilizando o exercício anterior prove que as sequências ( a_n ) abaixo são limitadas, onde
(b) a_n = log(n) / n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a sequência é limitada. Isso faz parte da matéria de sequências e limites. Para mostrar que a sequência é limitada, precisamos encontrar um número que seja maior que todos os termos da sequência. Vamos descobrir juntos como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da expressão significa. Aqui, representa o logaritmo de , que cresce muito devagar conforme aumenta. Já cresce bem rapidinho porque é o quadrado de . Então, estamos dividindo algo que cresce devagar por algo que cresce rápido. Isso já dá uma pista de que os termos da sequência devem diminuir conforme aumenta.

Passo 3

Para ter certeza de que essa sequência não fica ficando cada vez maior, vamos tentar encontrar o ponto onde atinge o seu valor máximo. Se conseguirmos encontrar esse máximo, esse será o nosso limite superior para a sequência.

Passo 4

Vamos tratar como uma variável contínua para facilitar os cálculos. Vamos derivar a função em relação a para achar onde a derivada é zero (ponto de máximo).
A derivada de é:
Igualando a derivada a zero:
Isso significa que a função atinge seu máximo quando .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor máximo da sequência substituindo na expressão original:
Portanto, o valor máximo da sequência é .

Resposta

A sequência é limitada e todos os seus termos são menores ou iguais a .

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