Calcular o volume do sólido limitado pleos planos coordenados, os planos e o paraboloide elíptico

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! Temos que calcular o volume de um sólido que está limitado pelos planos coordenados (isto é, os planos x=0, y=0 e z=0), pelos planos x=1 e y=1, e pelo paraboloide elíptico dado por . Para resolver isso, vamos usar integração em duas partes: primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar e depois calcular o volume usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos trabalhando. Os planos x=1 e y=1 definem um retângulo no plano xy, que vai de x=0 a x=1 e de y=0 a y=1. Acima desse retângulo, temos o paraboloide , que nos dá a altura do sólido em cada ponto (x, y).

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos integrar a função sobre a região retangular definida por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Isso significa que vamos calcular uma integral dupla:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x:
Calculando cada parte:

Passo 6

Somando os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades de volume.

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(Resp:=0).