Calcular o volume do sólido limitado pleos planos coordenados, os planos
e o paraboloide elíptico
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer! Temos que calcular o volume de um sólido que está limitado pelos planos coordenados (isto é, os planos x=0, y=0 e z=0), pelos planos x=1 e y=1, e pelo paraboloide elíptico dado por
. Para resolver isso, vamos usar integração em duas partes: primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar e depois calcular o volume usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos trabalhando. Os planos x=1 e y=1 definem um retângulo no plano xy, que vai de x=0 a x=1 e de y=0 a y=1. Acima desse retângulo, temos o paraboloide
, que nos dá a altura do sólido em cada ponto (x, y).
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos integrar a função
sobre a região retangular definida por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Isso significa que vamos calcular uma integral dupla:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x:
Calculando cada parte:
Passo 6
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido é
unidades de volume.
Exercícios relacionados
Calcular à área da região comprendida por
.
(a) Encontre
. Como está relacionada a
?
Calcular o volume do sólido limitado por
Calcule o valor medio das funções (no intervalo indicado):
(Resp:=0).