Calcular o volume do sólido limitado por
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e
. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração múltipla para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido:
-
: Essa é uma parábola que abre ao longo do eixo . -
: Essa é um plano inclinado que intercepta os eixos quando e . -
: Esse é o plano , a base do sólido.
Passo 3
Vamos esboçar as curvas para entender melhor os limites de integração. A interseção das superfícies
e
ocorre quando substituímos
:
Para
:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, expressamos
em termos de
. Como
, e pela equação do plano
:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Para encontrar o volume, configuramos a integral tripla:
Passo 6
Integramos em relação a
primeiro:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 8
Expandimos
:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Integrando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e o paraboloide elíptico
Calcular à área da região comprendida por
.
Calcule o valor medio das funções (no intervalo indicado):
(Resp:=0).
Calcular