Calcular o volume do sólido limitado por

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies , e . Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração múltipla para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido:
  1. : Essa é uma parábola que abre ao longo do eixo .
  2. : Essa é um plano inclinado que intercepta os eixos quando e .
  3. : Esse é o plano , a base do sólido.

Passo 3

Vamos esboçar as curvas para entender melhor os limites de integração. A interseção das superfícies e ocorre quando substituímos :
Para :
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, expressamos em termos de . Como , e pela equação do plano :
Então, varia de a .

Passo 5

Para encontrar o volume, configuramos a integral tripla:

Passo 6

Integramos em relação a primeiro:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 8

Expandimos :
Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Integrando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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(Resp:=0).
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