Calcular a área da região delimitada pela curva x^(2/3) + y^(2/3) = 1
Diva Calculo B p7.10.23

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da região delimitada pela curva . Esse tipo de curva é conhecida como astroida, que é uma curva plana com simetria. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Podemos reescrevê-la para isolar em termos de :
Isso nos ajuda a visualizar os limites de integração.

Passo 3

Como a curva é simétrica em relação aos eixos, podemos calcular a área em um quadrante e depois multiplicar por 4 para obter a área total. Vamos focar no primeiro quadrante onde e .

Passo 4

A área no primeiro quadrante pode ser encontrada integrando em relação a :
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição.

Passo 5

Vamos usar a substituição , então e . Substituindo na integral:
Essa é uma forma de uma integral beta.

Passo 6

Sabemos que:
Onde é a função gama. Aqui, e .

Passo 7

Calculando a integral usando a função beta:
Sabemos que e , e .

Passo 8

Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, multiplicamos a área do quadrante por 4 para obter a área total:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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