Calcular a área da região delimitada pela curva
Diva Calculo B p7.10.23
Diva Calculo B p7.10.23
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da região delimitada pela curva
. Esse tipo de curva é conhecida como astroida, que é uma curva plana com simetria. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Podemos reescrevê-la para isolar
em termos de
:
Isso nos ajuda a visualizar os limites de integração.
Passo 3
Como a curva é simétrica em relação aos eixos, podemos calcular a área em um quadrante e depois multiplicar por 4 para obter a área total. Vamos focar no primeiro quadrante onde
e
.
Passo 4
A área no primeiro quadrante pode ser encontrada integrando
em relação a
:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição.
Passo 5
Vamos usar a substituição
, então
e
. Substituindo na integral:
Essa é uma forma de uma integral beta.
Passo 6
Sabemos que:
Onde
é a função gama. Aqui,
e
.
Passo 7
Calculando a integral usando a função beta:
Sabemos que
e
, e
.
Passo 8
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, multiplicamos a área do quadrante por 4 para obter a área total:
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é
unidades de área.