Determine o valor promedio f(x, y) = sen(x + y) sobre a região
(a) retangular definida por R :
{(x, y) | 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi}
(b) retangular definida por R :
{(x, y) | 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi / 2}
Thomas 12ed 15.3.19

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor promedio da função em duas regiões retangulares diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular médias de funções em áreas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor promedio de uma função em uma região é dado por:
Á
Aqui, representa a integral dupla da função sobre a região , e Á é simplesmente a área dessa região.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a), onde a região é um retângulo definido por:
A área desse retângulo é fácil de calcular:
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da função sobre essa região. Podemos separar a integral em duas integrais simples, já que os limites de e são constantes:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples:
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:

Passo 7

Então, a integral dupla é zero. Agora, aplicamos a fórmula do valor promedio:

Resposta

O valor promedio de sobre o retângulo é 0.

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