Determine o valor promedio y) sobre a região
(a) retangular definida por :
(b) retangular definida por :
Thomas 12ed 15.3.19
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor promedio da função em duas regiões retangulares diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que ajudam a calcular médias de funções em áreas específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor promedio de uma função em uma região é dado por:
Aqui, representa a integral dupla da função sobre a região , e é simplesmente a área dessa região.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a), onde a região é um retângulo definido por:
A área desse retângulo é fácil de calcular:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla da função sobre essa região. Podemos separar a integral em duas integrais simples, já que os limites de e são constantes:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 7
Então, a integral dupla é zero. Agora, aplicamos a fórmula do valor promedio: