Inverta a ordem de integração de
integral1^2 integral0^e^x f(x, y) d x d y
Diva Calculo B p7.6.3c

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente tem uma integral dupla:
integral1^2 integral0^e^x f(x, y) , dx , dy
O objetivo aqui é inverter a ordem de integração, ou seja, trocar a ordem de e . Para fazer isso, precisamos entender a região de integração e ajustar os limites de acordo. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e geometria no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. A integral original está definindo integraly=1^2 integralx=0^e^x f(x, y) , dx , dy de 1 a 2 e, para cada integraly=1^2 integralx=0^ln y f(x, y) , dx , dy , vai de 0 a . Mas isso parece um pouco confuso, então vamos reescrever para clareza:
Na verdade, há uma inconsistência aqui, porque depende de , o que não faz sentido nos limites de . Provavelmente, o limite interno deveria ser uma função de . Vamos supor que o enunciado correto seja:
Assim, varia de 0 a para cada .

Passo 3

Agora, vamos desenhar essa região no plano y = e^x para visualizar melhor. Temos:
  • varia de 1 a 2.
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a fronteira superior de é dada por . Podemos reescrever essa equação para expressar em termos de :

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, queremos que seja o primeiro a variar e o segundo. Precisamos determinar os novos limites:
  • varia de 0 até (já que quando , ).
  • Para cada , varia de até 2.

Passo 5

Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integralx=0^ln 2 integraly=e^x^2 f(x, y) , dy , dx

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^ln 2 integrale^x^2 f(x, y) , dy , dx

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