Inverta a ordem de integração de
Diva Calculo B p7.6.3c
Diva Calculo B p7.6.3c
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente tem uma integral dupla:
O objetivo aqui é inverter a ordem de integração, ou seja, trocar a ordem de
e
. Para fazer isso, precisamos entender a região de integração e ajustar os limites de acordo. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral e geometria no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde estamos integrando. A integral original está definindo
de 1 a 2 e, para cada
,
vai de 0 a
. Mas isso parece um pouco confuso, então vamos reescrever para clareza:
Na verdade, há uma inconsistência aqui, porque
depende de
, o que não faz sentido nos limites de
. Provavelmente, o limite interno deveria ser uma função de
. Vamos supor que o enunciado correto seja:
Assim,
varia de 0 a
para cada
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar essa região no plano
para visualizar melhor. Temos:
-
varia de 1 a 2. - Para cada
, varia de 0 a .
Então, a fronteira superior de
é dada por
. Podemos reescrever essa equação para expressar
em termos de
:
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, queremos que
seja o primeiro a variar e
o segundo. Precisamos determinar os novos limites:
-
varia de 0 até (já que quando , ). - Para cada
, varia de até 2.
Passo 5
Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: