Uma lamina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
e
. Sua densidade de massa no ponto
é proporcional à distância desse ponto ao eixo
. Calcular (a) a massa da lamina, (b) o centro de massa e © o momento de inercia em relação ao eixo
.
Diva Calculo B p7.10.33
Diva Calculo B p7.10.33
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lamina plana delimitada pelas curvas
e
. A densidade de massa em cada ponto
é proporcional à distância desse ponto ao eixo
. Nosso objetivo é calcular:
a) A massa da lamina
b) O centro de massa
c) O momento de inércia em relação ao eixo
b) O centro de massa
c) O momento de inércia em relação ao eixo
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas para áreas e momentos, além de entender como determinar o centro de massa.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas
e
para determinar os limites da nossa região de integração.
Igualando as duas equações:
Resolvendo:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a densidade de massa. A densidade é proporcional à distância do ponto
ao eixo
, que é simplesmente a coordenada
. Então, podemos escrever:
onde
é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
Para encontrar a massa da lamina, precisamos integrar a densidade sobre a área da região delimitada pelas curvas. A massa
é dada por:
Vamos integrar em relação a
e
, onde os limites de
são de -1 a 2, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Configurando a integral dupla para a massa:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Simplificando a expressão obtida:
Então, a integral para a massa fica:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Simplificando:
Portanto:
Resposta
A massa da lamina é
.