Uma lamina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = x + 3. Sua densidade de massa no ponto P(x, y) é proporcional à distância desse ponto ao eixo x. Calcular (a) a massa da lamina, (b) o centro de massa e © o momento de inercia em relação ao eixo x.
Diva Calculo B p7.10.33

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lamina plana delimitada pelas curvas e . A densidade de massa em cada ponto é proporcional à distância desse ponto ao eixo . Nosso objetivo é calcular:
a) A massa da lamina
b) O centro de massa
c) O momento de inércia em relação ao eixo
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas para áreas e momentos, além de entender como determinar o centro de massa.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos de interseção das curvas e para determinar os limites da nossa região de integração.
Igualando as duas equações:
Resolvendo:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos expressar a densidade de massa. A densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo , que é simplesmente a coordenada . Então, podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 4

Para encontrar a massa da lamina, precisamos integrar a densidade sobre a área da região delimitada pelas curvas. A massa é dada por:
Vamos integrar em relação a e , onde os limites de são de -1 a 2, e para cada , varia de a .

Passo 5

Configurando a integral dupla para a massa:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Simplificando a expressão obtida:
Então, a integral para a massa fica:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Simplificando:
Portanto:

Resposta

A massa da lamina é .

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