Encontre o volume da região do cilindro sólido reto cuja base é delimitada pela leminiscaste r^2 = 2 cos(theta) e seu topo é delimitado pela esfera z = raiz(2 - r^2).
Thomas 12ed 15.4.40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o volume de uma região que está dentro de um cilindro sólido reto. A base desse cilindro é delimitada pela leminiscata dada por e o topo é limitado por uma esfera descrita por . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e configurar uma integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base do cilindro. A equação representa uma leminiscata no plano polar. Essa curva nos dá os limites para e .

Passo 3

Vamos identificar os limites para . A leminiscata só é válida quando , ou seja, quando . Portanto, esses serão nossos limites para .

Passo 4

Agora, para cada valor de dentro desses limites, o raio varia de 0 até . Então, nossos limites para são de 0 a .

Passo 5

Em relação a , a esfera nos dá o limite superior. A equação indica que varia de 0 até para cada ponto na base.

Passo 6

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral em . Seja , então ou .
Quando , ; quando , .
Substituindo na integral:

Passo 9

Resolvendo a integral em :

Passo 10

Simplificando e integrando em :
Esse passo pode envolver funções especiais ou métodos avançados de integração, dependendo do nível do curso.

Resposta

O volume da região descrita é dado pela integral:

Exercícios relacionados