Encontre o volume da região do cilindro sólido reto cuja base é delimitada pela leminiscaste
e seu topo é delimitado pela esfera
.
Thomas 12ed 15.4.40
Thomas 12ed 15.4.40
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o volume de uma região que está dentro de um cilindro sólido reto. A base desse cilindro é delimitada pela leminiscata dada por
e o topo é limitado por uma esfera descrita por
. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e configurar uma integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base do cilindro. A equação
representa uma leminiscata no plano polar. Essa curva nos dá os limites para
e
.
Passo 3
Vamos identificar os limites para
. A leminiscata
só é válida quando
, ou seja, quando
. Portanto, esses serão nossos limites para
.
Passo 4
Agora, para cada valor de
dentro desses limites, o raio
varia de 0 até
. Então, nossos limites para
são de 0 a
.
Passo 5
Em relação a
, a esfera nos dá o limite superior. A equação
indica que
varia de 0 até
para cada ponto
na base.
Passo 6
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral em
. Seja
, então
ou
.
Quando
,
; quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 9
Resolvendo a integral em
:
Passo 10
Simplificando e integrando em
:
Esse passo pode envolver funções especiais ou métodos avançados de integração, dependendo do nível do curso.
Resposta
O volume da região descrita é dado pela integral: