Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área da região limitada por várias curvas. A gente vai trabalhar com funções quadráticas e lineares, usando um pouquinho de cálculo integral. Precisamos encontrar onde essas curvas se encontram para definir os limites da área que queremos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das curvas:
-
— uma parábola. -
, que podemos reescrever como — uma reta. -
— outra reta. -
— uma linha vertical.
Passo 3
Vamos achar os pontos de interseção entre essas curvas para saber onde elas se encontram. Vamos calcular as intersecções entre cada par de curvas.
Passo 4
Intersecção entre
e
:
Resolvendo a equação quadrática:
Como o discriminante é negativo, essas curvas não se cruzam.
Passo 5
Intersecção entre
e
:
Resolvendo a equação:
Então,
e
. Calculando os valores de
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Intersecção entre
e
:
Calculando
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 7
Agora, vamos considerar a linha vertical
como um dos limites da área. Vamos verificar onde essa linha corta as outras curvas.
Passo 8
Intersecção de
com
:
Então, o ponto é
.
Intersecção de
com
:
Então, o ponto é
.
Intersecção de
com
:
Então, o ponto é
.
Passo 9
Com todos os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região limitada pelas curvas. A área estará entre as curvas
,
,
e a linha vertical
.
Passo 10
Para calcular a ��rea, vamos integrar a diferença entre as funções que formam os limites superior e inferior da região, entre os valores de
onde elas se intersectam.
Passo 11
Vamos dividir a área em duas partes para facilitar:
- De
a , entre e . - De
a , entre e .
Passo 12
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Passo 13
Vamos calcular
:
Avaliando de
a
:
Como área não pode ser negativa, consideramos
unidades quadradas.
Passo 14
Agora, calculando
:
Avaliando de
a
:
Considerando a área positiva, temos
unidades quadradas.
Passo 15
Finalmente, somamos as duas áreas:
Arredondando, temos aproximadamente
unidades quadradas.
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.