Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
y = x^2 ; y - x = -2 ; y = -7x - 10 e x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área da região limitada por várias curvas. A gente vai trabalhar com funções quadráticas e lineares, usando um pouquinho de cálculo integral. Precisamos encontrar onde essas curvas se encontram para definir os limites da área que queremos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das curvas:
  1. — uma parábola.
  2. , que podemos reescrever como — uma reta.
  3. — outra reta.
  4. — uma linha vertical.

Passo 3

Vamos achar os pontos de interseção entre essas curvas para saber onde elas se encontram. Vamos calcular as intersecções entre cada par de curvas.

Passo 4

Intersecção entre e :
Resolvendo a equação quadrática:
Como o discriminante é negativo, essas curvas não se cruzam.

Passo 5

Intersecção entre e :
Resolvendo a equação:
Então, e . Calculando os valores de :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Intersecção entre e :
Calculando :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 7

Agora, vamos considerar a linha vertical como um dos limites da área. Vamos verificar onde essa linha corta as outras curvas.

Passo 8

Intersecção de com :
Então, o ponto é .
Intersecção de com :
Então, o ponto é .
Intersecção de com :
Então, o ponto é .

Passo 9

Com todos os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região limitada pelas curvas. A área estará entre as curvas , , e a linha vertical .

Passo 10

Para calcular a ��rea, vamos integrar a diferença entre as funções que formam os limites superior e inferior da região, entre os valores de onde elas se intersectam.

Passo 11

Vamos dividir a área em duas partes para facilitar:
  1. De a , entre e .
  2. De a , entre e .

Passo 12

Calculando a primeira integral:
Á
Calculando a segunda integral:
Á

Passo 13

Vamos calcular Á:
Avaliando de a :
Como área não pode ser negativa, consideramos unidades quadradas.

Passo 14

Agora, calculando Á:
Avaliando de a :
Considerando a área positiva, temos unidades quadradas.

Passo 15

Finalmente, somamos as duas áreas:
Á
Arredondando, temos aproximadamente unidades quadradas.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente unidades quadradas.

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