A distribuição vertical da velocidade da água em um rio pode ser aproximada por
, onde
é a velocidade
a uma profundidade de
metros abaixo da superfície,
é a profundidade do rio è
é uma constante positiva. Se
é a velocidade na superfície, mostre que a velocidade média
é dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que está na área de cinemática de fluidos. A gente precisa mostrar que a velocidade média da água no rio,
, é igual a
da velocidade na superfície,
. Para isso, vamos usar a fórmula que descreve como a velocidade varia com a profundidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
. Aqui,
é a velocidade da água a uma profundidade
metros abaixo da superfície,
é a profundidade total do rio, e
é uma constante positiva.
Passo 3
Queremos encontrar a velocidade média,
. A velocidade média em um intervalo é dada pela média das velocidades em todos os pontos desse intervalo. Matematicamente, isso é representado por uma integral:
Passo 4
Substituímos
pela expressão dada:
Passo 5
Vamos simplificar a constante
fora da integral:
Passo 6
Fazendo a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
. A integral fica:
Passo 7
Integrando
:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Passo 9
Voltando à expressão de
:
Passo 10
Sabemos que a velocidade na superfície,
, é quando
:
Passo 11
Substituindo
por
na expressão de
:
Resposta
A velocidade média é
.
Exercícios relacionados
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
.
Sabendo que
e
estão relacionados pela equação
, determine
usando derivação implícita.
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita: