A distribuição vertical da velocidade da água em um rio pode ser aproximada por v = c(d - y)^(1/6), onde v é a velocidade em m/s a uma profundidade de y metros abaixo da superfície, d é a profundidade do rio è c é uma constante positiva. Se v0 é a velocidade na superfície, mostre que a velocidade média vm é dada por vm = 6/7 v0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que está na área de cinemática de fluidos. A gente precisa mostrar que a velocidade média da água no rio, , é igual a da velocidade na superfície, . Para isso, vamos usar a fórmula que descreve como a velocidade varia com a profundidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada: . Aqui, é a velocidade da água a uma profundidade metros abaixo da superfície, é a profundidade total do rio, e é uma constante positiva.

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade média, . A velocidade média em um intervalo é dada pela média das velocidades em todos os pontos desse intervalo. Matematicamente, isso é representado por uma integral:

Passo 4

Substituímos pela expressão dada:

Passo 5

Vamos simplificar a constante fora da integral:

Passo 6

Fazendo a substituição , então . Quando , ; quando , . A integral fica:

Passo 7

Integrando :

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a :

Passo 9

Voltando à expressão de :

Passo 10

Sabemos que a velocidade na superfície, , é quando :

Passo 11

Substituindo por na expressão de :

Resposta

A velocidade média é .

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