Sejam
e
.
Se
e
, quanto vale a.b.c?
Se
Passo 1
Vamos lá, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções:
E sabemos que em
, tanto a função
quanto suas primeiras e segundas derivadas devem coincidir com as de
, sendo que a segunda derivada de
é igual à segunda derivada de
dividida por
. O que a gente quer descobrir é o valor do produto
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar
, e . - Encontrar
, e em termos de , e . - Igualar as correspondentes funções e derivadas para encontrar
, e .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Observando a definição de
:
Note que a integral de 1 a 1 é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
, ou seja,
. Para isso, usamos o teorema fundamental do cálculo e a regra de derivação:
Portanto, em
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos continuar com a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, derivamos
:
Simplificando:
Então, em
:
Passo 5
Agora, vamos expressar
e suas derivadas no ponto
.
Primeiro,
:
Agora, a primeira derivada de
:
Portanto, em
:
E a segunda derivada de
:
Isso é constante, então:
Passo 6
Segundo as condições do problema:
-
⟹ -
⟹ -
⟹ ⟹ ⟹
Passo 7
Finalmente, queremos encontrar o produto
:
Resposta
O valor de
é 6.
Exercícios relacionados
Seja
e suponha que
e
são funções de
. Determine
sabendo que
.
Seja
.
Detemine e esboce a curva de nível .
Detemine e esboce a curva de nível
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
.