Sejam g(x)=3 x+2 integral1^x sen^2(pi4 t^2) d t e p(x)=a(x-1)^2+b(x-1)+c.
Se p(1)=g(1), p^prime(1)=g^prime(1) e p^prime prime(1)=g^prime prime(1)pi, quanto vale a.b.c?

Passo 1

Vamos lá, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções:
E sabemos que em , tanto a função quanto suas primeiras e segundas derivadas devem coincidir com as de , sendo que a segunda derivada de é igual à segunda derivada de dividida por . O que a gente quer descobrir é o valor do produto .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar , e .
  2. Encontrar , e em termos de , e .
  3. Igualar as correspondentes funções e derivadas para encontrar , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular g(1) = 3 cdot 1 + 2 integral1^1 sin^2(pi4 t^2) dt . Observando a definição de g(1) = 3 :
Note que a integral de 1 a 1 é zero. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de g'(x) = 3 + 2 cdot sin^2(pi4 x^2) , ou seja, g'(1) = 3 + 2 cdot sin^2(pi4 cdot 1^2) = 3 + 2 cdot sin^2(pi4) . Para isso, usamos o teorema fundamental do cálculo e a regra de derivação:
g'(1) = 3 + 2 cdot (raiz22)^2 = 3 + 2 cdot 24 = 3 + 1 = 4
Portanto, em :
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos continuar com a segunda derivada de g''(x) = 2 cdot 2 cdot sin(pi4 x^2) cdot cos(pi4 x^2) cdot pi4 cdot 2x , ou seja, g''(x) = pi x cdot sin(pi2 x^2) . Para isso, derivamos g''(1) = pi cdot 1 cdot sin(pi2 cdot 1^2) = pi cdot sin(pi2) = pi cdot 1 = pi :
Simplificando:
Então, em :

Passo 5

Agora, vamos expressar p(1) = a(1-1)^2 + b(1-1) + c = 0 + 0 + c = c e suas derivadas no ponto p'(x) = 2a(x-1) + b .
Primeiro, p'(1) = 2a(1-1) + b = 0 + b = b :
p''(x) = 2a
Agora, a primeira derivada de p''(1) = 2a :
Portanto, em :
E a segunda derivada de :
Isso é constante, então:

Passo 6

Segundo as condições do problema:

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar o produto a cdot b cdot c = 12 cdot 4 cdot 3 = 12 cdot 12 = 6 :

Resposta

O valor de é 6.

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Seja x^2 - y^2 = 1 e suponha que x e y são funções de t. Determine dx/dt sabendo que x = 4, y = 5 e dy/dt = 0,08.
Seja F(x, y) = 1 + raiz(4 - y^2).
Detemine e esboce a curva de nível F(x, y) = 2.
Nas questões de 1 a 4 encontre dy/ dx através de derivação implícita:
raiz(x + y) = x
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
y = x^2 ; y - x = -2 ; y = -7x - 10 e x = 3.