Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
x^2 * y^3 - y^2 + x * y = 1 ; P = (1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação no ponto . Para isso, vamos usar o processo de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando a função não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde está misturado com , não dá para resolver diretamente para e derivar normalmente. Por isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de (ou seja, ). Isso significa que, ao derivar termos que envolvem , a gente precisa usar a regra da cadeia e multiplicar pela derivada de , que é .
Vamos aplicar isso na nossa equação:
Derivando ambos os lados em relação a :
Calculando cada derivada:
  1. (usando o produto e a cadeia)
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos reunir os termos que contêm (a derivada que queremos encontrar) e os que não têm:
Fatorando do lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 4

Vamos calcular o valor de no ponto . Substituindo e na expressão:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto , vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Distribuindo o :
Finalmente, isolando :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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