Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação
no ponto
. Para isso, vamos usar o processo de diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando a função não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando temos uma equação onde
está misturado com
, não dá para resolver diretamente para
e derivar normalmente. Por isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
(ou seja,
). Isso significa que, ao derivar termos que envolvem
, a gente precisa usar a regra da cadeia e multiplicar pela derivada de
, que é
.
Vamos aplicar isso na nossa equação:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Calculando cada derivada:
-
(usando o produto e a cadeia) -
-
-
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos reunir os termos que contêm
(a derivada que queremos encontrar) e os que não têm:
Fatorando
do lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Vamos calcular o valor de
no ponto
. Substituindo
e
na expressão:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Agora que temos a inclinação
da reta tangente e o ponto
, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Distribuindo o
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.