Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
y = tg(x); y = 0; x = -pi / 4 e x = pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as curvas dadas:
  • (que é o eixo )
  • e
Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo integral, que é a parte da matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas curvas representa:
  • é a função tangente, que tem algumas características específicas no gráfico.
  • é simplesmente o eixo .
  • e são linhas verticais que determinam os limites da nossa área.

Passo 3

A próxima coisa é visualizar essa área no gráfico. Vamos imaginar o gráfico de entre e . A área que queremos é a que está entre essa curva e o eixo .

Passo 4

Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula da integral definida:
Á
Aqui, é a função de cima e é a de baixo. No nosso caso, e . Os limites de integração são de até .

Passo 5

Vamos montar a integral com os valores que temos:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que a integral de é . Então:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área.

Passo 7

Aplicando os limites de integração, temos:
Á

Passo 8

Sabemos que , então . E . Substituindo:
Á

Passo 9

Simplificando a expressão:
Portanto,
Á
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas é unidades de área.

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