Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as curvas dadas:
-
-
(que é o eixo ) -
e
Para isso, vamos usar um pouquinho de cálculo integral, que é a parte da matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas curvas representa:
-
é a função tangente, que tem algumas características específicas no gráfico. -
é simplesmente o eixo . -
e são linhas verticais que determinam os limites da nossa área.
Passo 3
A próxima coisa é visualizar essa área no gráfico. Vamos imaginar o gráfico de
entre
e
. A área que queremos é a que está entre essa curva e o eixo
.
Passo 4
Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula da integral definida:
Aqui,
é a função de cima e
é a de baixo. No nosso caso,
e
. Os limites de integração são de
até
.
Passo 5
Vamos montar a integral com os valores que temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. Sabemos que a integral de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para calcular a área.
Passo 7
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 8
Sabemos que
, então
. E
. Substituindo:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Portanto,
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas dadas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
.
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante
, por
, com velocidade inicial de
. Determine:
a) a aceleração média durante o intervalo a
a) a aceleração média durante o intervalo
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
b)
b)