Resolva os problemas de valor inicial abaixo: y'' - 9y = 12 cos(3x), y(0) = 4, y'(0) = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .
Conteúdo: Esse problema está relacionado a equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Vamos precisar usar métodos para resolver a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para o termo não homogêneo. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, .
A equação característica para isso é:
Resolvendo para :
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa .
Como o lado direito é , fazemos uma suposição para a solução particular na forma:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos e suas derivadas na equação original :
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :
Então, a solução particular é:

Passo 7

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos :
Aplicando :

Passo 9

Agora, usamos na equação :
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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