Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo: Esse problema está relacionado a equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo. Vamos precisar usar métodos para resolver a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para o termo não homogêneo. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
.
A equação característica para isso é:
Resolvendo para
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
.
Como o lado direito é
, fazemos uma suposição para a solução particular
na forma:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
e suas derivadas na equação original
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos
:
Aplicando
:
Passo 9
Agora, usamos
na equação
:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função real e
. Defina: a derivada de
no ponto
.
Calcule os limites abaixo
Seja
. Determine
.
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas: