Seja f(x)=integral4^x e^u^2[integral0^2 u^3+4 raizt d t] d u. Determine f^prime prime(x).

Passo 1

Estamos lidando com uma função definida por uma integral dupla: . Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra fundamental do cálculo e a diferenciação de integrais definidas que envolvem funções dentro de integrais. Precisaremos calcular as derivadas primeiro de e depois de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) = e^x^2 [ integral0^2x^3+4 raizt , dt ] . A regra fundamental do cálculo nos diz que se temos , então . Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a expressão dentro do colchete, que é uma integral em relação a integral raizt , dt = integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C . Calculamos essa integral:
integral0^2x^3+4 raizt , dt = [ 23 t^3/2 ]0^2x^3+4 = 23 (2x^3+4)^3/2 - 0 = 23 (2x^3+4)^3/2
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Substituímos essa expressão de volta na derivada f'(x) = e^x^2 cdot 23 (2x^3+4)^3/2 :
f'(x) = 23 e^x^2 (2x^3+4)^3/2
Podemos simplificar isso para:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a segunda derivada, f''(x) = ddx ( 23 e^x^2 (2x^3+4)^3/2 ) . Para isso, vamos derivar em relação a . Aplicaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Como é uma constante, podemos focar na derivação de .

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
ddx ( e^x^2 (2x^3+4)^3/2 ) = e^x^2 cdot ddx (2x^3+4)^3/2 + (2x^3+4)^3/2 cdot ddx e^x^2

Passo 7

Calculamos cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de ddx (2x^3+4)^3/2 = 32 (2x^3+4)^1/2 cdot 6x^2 = 9x^2 (2x^3+4)^1/2 :
ddx e^x^2 = 2x e^x^2
Segundo, a derivada de :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada do produto:
f''(x) = 23 [ e^x^2 cdot 9x^2 (2x^3+4)^1/2 + (2x^3+4)^3/2 cdot 2x e^x^2 ]

Passo 9

Simplificando os termos:
f''(x) = 23 e^x^2 [ 9x^2 (2x^3+4)^1/2 + 2x (2x^3+4)^3/2 ]
Podemos fatorar f''(x) = 23 e^x^2 (2x^3+4)^1/2 [ 9x^2 + 2x (2x^3+4) ] e simplificar ainda mais:

Passo 10

Expandindo e simplificando dentro dos colchetes:
9x^2 + 4x^4 + 8x = 4x^4 + 9x^2 + 8x
Portanto, a expressão final fica:
f''(x) = 23 e^x^2 (2x^3+4)^1/2 (4x^4 + 9x^2 + 8x)

Resposta

A segunda derivada de f''(x) = 23 e^x^2 (2x^3+4)^1/2 (4x^4 + 9x^2 + 8x) é:

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