Seja
. Determine
.
Passo 1
Estamos lidando com uma função definida por uma integral dupla:
. Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra fundamental do cálculo e a diferenciação de integrais definidas que envolvem funções dentro de integrais. Precisaremos calcular as derivadas primeiro de
e depois de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A regra fundamental do cálculo nos diz que se temos
, então
. Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar a expressão dentro do colchete, que é uma integral em relação a
. Calculamos essa integral:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 4
Substituímos essa expressão de volta na derivada
:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a segunda derivada,
. Para isso, vamos derivar
em relação a
. Aplicaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Como
é uma constante, podemos focar na derivação de
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Calculamos cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada de
:
Segundo, a derivada de
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada do produto:
Passo 9
Simplificando os termos:
Podemos fatorar
e simplificar ainda mais:
Passo 10
Expandindo e simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, a expressão final fica:
Resposta
A segunda derivada de
é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Seja
uma função real e
. Defina: a derivada de
no ponto
.
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante
, por
, com velocidade inicial de
. Determine:
a) a aceleração média durante o intervalo a
a) a aceleração média durante o intervalo