Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral imprópria:
Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, dá um valor finito) ou diverge (não dá um valor finito). Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como analisar o comportamento da função quando o limite de integração tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral ser “imprópria”. Isso acontece quando um ou ambos os limites de integração são infinitos ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é
, então precisamos verificar o que acontece com a função conforme
cresce indefinidamente.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função integranda
quando
tende a
.
Note que, para
, o termo
se torna negativo, mas como estamos tomando a raiz cúbica, que é definida para números negativos, a expressão é real. Porém, quando
cresce muito,
é aproximadamente
, então:
Então, a função integranda fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, queremos saber se a integral de
de 3 até o infinito converge ou diverge. Para isso, usamos um teste de comparação para integrais impróprias. Sabemos que a integral
converge se e somente se
.
No nosso caso,
, que é maior que
. Isso significa que a integral de
de 3 até o infinito diverge.
Passo 5
Já que a nossa função original
se comporta como
para
grande, e sabemos que a integral de
diverge, podemos concluir que a nossa integral original também diverge. Não importa o sinal negativo, porque estamos falando de valores absolutos na convergência de integrais impróprias.
Resposta
A integral divergente, ou seja, não converge.
Exercícios relacionados
Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante
, por
, com velocidade inicial de
. Determine:
a) a aceleração média durante o intervalo a
a) a aceleração média durante o intervalo
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
Calcule os limites abaixo
Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
.