Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
b) integral3^+infty xraiz[3]4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral imprópria:
integral3^+infty xraiz[3]4 - x^2 , dx
Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, dá um valor finito) ou diverge (não dá um valor finito). Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como analisar o comportamento da função quando o limite de integração tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral ser “imprópria”. Isso acontece quando um ou ambos os limites de integração são infinitos ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é , então precisamos verificar o que acontece com a função conforme cresce indefinidamente.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função integranda raiz[3]4 - x^2 approx raiz[3]-x^2 = -x^2/3 quando x-x^2/3 = -x^1 - 23 = -x^13 tende a .
Note que, para , o termo se torna negativo, mas como estamos tomando a raiz cúbica, que é definida para números negativos, a expressão é real. Porém, quando cresce muito, é aproximadamente , então:
Então, a função integranda fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, queremos saber se a integral de de 3 até o infinito converge ou diverge. Para isso, usamos um teste de comparação para integrais impróprias. Sabemos que a integral converge se e somente se .
No nosso caso, , que é maior que . Isso significa que a integral de de 3 até o infinito diverge.

Passo 5

Já que a nossa função original se comporta como para grande, e sabemos que a integral de diverge, podemos concluir que a nossa integral original também diverge. Não importa o sinal negativo, porque estamos falando de valores absolutos na convergência de integrais impróprias.

Resposta

A integral divergente, ou seja, não converge.

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