Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante
, por
, com velocidade inicial de
. Determine:
a) a aceleração média durante o intervalo
a
a) a aceleração média durante o intervalo
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no eixo Ox com uma aceleração que depende do tempo, dada por
. A velocidade inicial dessa partícula é
m/s. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração média da partícula no intervalo de tempo de 0 a 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender a definição de aceleração média e como relacioná-la com a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração média. A aceleração média (
) em um intervalo de tempo é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
onde
é a velocidade final,
é a velocidade inicial,
é o tempo final e
é o tempo inicial.
Passo 3
Para encontrar a aceleração média, precisamos primeiro determinar a velocidade final
no tempo
segundos. Sabemos que a velocidade em qualquer instante pode ser obtida integrando a aceleração em relação ao tempo e somando à velocidade inicial:
Então, para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Para facilitar, podemos reescrever
como
:
Essa integral pode ser resolvida por partes, onde escolhemos
e
. Calculando
e
. Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Resolvendo a segunda integral:
Portanto:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Simplificando
:
Passo 5
Agora que temos o valor da integral, podemos encontrar a velocidade final
:
Agora, aplicando a definição de aceleração média:
Simplificando, podemos fatorar
:
Resposta
A aceleração média no intervalo de 0 a 2 segundos é:
Exercícios relacionados
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
Seja
. Determine
.
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
b)
b)
Calcule os limites abaixo