Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante t, por a(t) = t * 2^(-t), com velocidade inicial de 1/(2 ln 2) m/s. Determine:
a) a aceleração média durante o intervalo t = 0 s a t = 2 s

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move no eixo Ox com uma aceleração que depende do tempo, dada por . A velocidade inicial dessa partícula é m/s. Nosso objetivo aqui é calcular a aceleração média da partícula no intervalo de tempo de 0 a 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender a definição de aceleração média e como relacioná-la com a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração média. A aceleração média ( ) em um intervalo de tempo é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Matematicamente, isso é expresso por:
onde é a velocidade final, é a velocidade inicial, é o tempo final e é o tempo inicial.

Passo 3

Para encontrar a aceleração média, precisamos primeiro determinar a velocidade final no tempo segundos. Sabemos que a velocidade em qualquer instante pode ser obtida integrando a aceleração em relação ao tempo e somando à velocidade inicial:
Então, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Para facilitar, podemos reescrever como :
Essa integral pode ser resolvida por partes, onde escolhemos e . Calculando e . Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Resolvendo a segunda integral:
Portanto:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Simplificando :

Passo 5

Agora que temos o valor da integral, podemos encontrar a velocidade final :
Agora, aplicando a definição de aceleração média:
Simplificando, podemos fatorar :

Resposta

A aceleração média no intervalo de 0 a 2 segundos é:

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