Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos calcular a área da região limitada pelas curvas , (a reta do eixo X), e as linhas verticais e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, que nos ajuda a encontrar a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, entendemos que é o eixo X. Então, a área que queremos está entre a parábola e o eixo X, de até . Vamos visualizar isso como a “saliência” da parábola acima ou abaixo do eixo X nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar essa área, usamos a integral definida da função que representa a diferença entre as duas curvas no intervalo dado. Como uma das curvas é , a área será:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada (ou primitiva) da função :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estamos fazendo uma integral definida.

Passo 5

Em seguida, avaliamos essa antiderivada nos limites de integração, ou seja, de até :

Passo 6

Fazendo as contas:
Para :
Para :
Agora, subtraímos os dois resultados:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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a)