Calcular as derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma integral que tem um limite que depende de
. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial e integral, mais especificamente com a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites que dependem da variável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz para derivar uma integral que tem limites que são funções de
. A regra diz que:
Ou seja, a derivada da integral é igual à função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa integral de acordo com a Regra de Leibniz:
-
(limite inferior) -
(limite superior, que é constante) -
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
-
-
(já que 2 é uma constante)
Passo 4
Aplicando a Regra de Leibniz:
Substituindo os valores que identificamos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Primeiro, o primeiro termo é zero porque está multiplicado por 0:
No segundo termo, vamos simplificar:
Resposta
A derivada é:
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Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
;
Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
a)
a)
Questão 5. (1,0)Determinar a altura do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz
dada.