Calcular as derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma integral que tem um limite que depende de . O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial e integral, mais especificamente com a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites que dependem da variável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz para derivar uma integral que tem limites que são funções de . A regra diz que:
Ou seja, a derivada da integral é igual à função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral de acordo com a Regra de Leibniz:
  • (limite inferior)
  • (limite superior, que é constante)
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
  • (já que 2 é uma constante)

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz:
Substituindo os valores que identificamos:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Primeiro, o primeiro termo é zero porque está multiplicado por 0:
No segundo termo, vamos simplificar:

Resposta

A derivada é:

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a)
Questão 5. (1,0)Determinar a altura do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz dada.