Calcular as derivadas:
dd x integralx^5^2 ln (t^2-1)5 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada de uma integral que tem um limite que depende de dd x integralx^5^2 ln (t^2-1)5 , dt . O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial e integral, mais especificamente com a regra de diferenciação de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivar integrais que têm limites que dependem da variável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz para derivar uma integral que tem limites que são funções de dd x integrala(x)^b(x) f(t) , dt = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) . A regra diz que:
Ou seja, a derivada da integral é igual à função dentro da integral avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior, menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa integral de acordo com a Regra de Leibniz:
  • (limite inferior)
  • (limite superior, que é constante)
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
  • (já que 2 é uma constante)

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz:
dd x integralx^5^2 ln (t^2-1)5 , dt = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que identificamos:
= ln (2^2-1)5 cdot 0 - ln ( (x^5)^2 - 1 )5 cdot 5x^4

Passo 5

Simplificando a expressão:
Primeiro, o primeiro termo é zero porque está multiplicado por 0:
ln (2^2-1)5 cdot 0 = 0
No segundo termo, vamos simplificar:
ln ( x^10 - 1 )5 cdot 5x^4 = ln ( x^10 - 1 ) cdot x^4

Resposta

A derivada é:
dd x integralx^5^2 ln (t^2-1)5 , dt = -x^4 cdot ln ( x^10 - 1 )

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