Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
a) integral4^+infty 1x raizx d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular seu valor. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão da função e aplicar técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos 1x cdot raizx = 1x cdot x^1/2 = 1x^3/2 = x^-3/2 . Sabemos que integral4^+infty x^-3/2 , dx , então podemos reescrever a função assim:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Como o limite superior da integral é , estamos lidando com uma integral imprópria. Para determinar se ela é convergente ou divergente, vamos calcular a integral indefinida e depois verificar o comportamento quando a variável tende ao infinito.

Passo 4

Vamos integrar a função integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = x^-1/2-1/2 + C = -2x^-1/2 + C = -2raizx + C . A integral de é , desde que . Aqui, , então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração. Vamos substituir o limite superior limb to +infty ( -2raizb + 2raiz4 ) = limb to +infty ( -2raizb + 1 ) tendendo ao infinito e o limite inferior 4:

Passo 6

Calculando o limite, sabemos que - 2raizb to 0 e 0 + 1 = 1 . Portanto:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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