Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular seu valor. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão da função e aplicar técnicas de integração apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
. Sabemos que
, então podemos reescrever a função assim:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Como o limite superior da integral é
, estamos lidando com uma integral imprópria. Para determinar se ela é convergente ou divergente, vamos calcular a integral indefinida e depois verificar o comportamento quando a variável tende ao infinito.
Passo 4
Vamos integrar a função
. A integral de
é
, desde que
. Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração. Vamos substituir o limite superior
tendendo ao infinito e o limite inferior 4:
Passo 6
Calculando o limite, sabemos que
. Portanto:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.
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dada.
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a)
a)
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. O material usado para confeccionar a tampa e a base da caixa custa
por
e o material usado nas laterais custa
por
. Determine as dimensões da caixa de menor custo.
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