Calcular as integrais :
integral0^1 x^34-x^8 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com integração, especificamente uma integral racional onde o numerador é um polinômio e o denominador também é um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral fazendo uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observamos que no denominador temos . Podemos notar que , então podemos reescrever o denominizador como .

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição dudx = 4x^3 Rightarrow du = 4x^3 , dx Rightarrow x^3 , dx = du4 . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Substituindo integral0^1 x^34 - x^8 , dx = integralu(0)^u(1) du44 - u^2 = 14 integral0^1 du4 - u^2 e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral 4 - u^2 = (2 - u)(2 + u) . Podemos escrever o denominador como uma diferença de quadrados:
Isso nos permite usar a técnica de frações parciais para simplificar a integral.

Passo 6

Aplicando frações parciais:
14 - u^2 = 1(2 - u)(2 + u) = A2 - u + B2 + u
Resolvendo para 1 = A(2 + u) + B(2 - u) e A + B = 0 e 2A + 2B = 1 :
Para encontrar e , igualamos os coeficientes:
Resolviendo, obtemos e .

Passo 7

Substituindo 14 integral ( 14 12 - u - 14 12 + u ) du = 116 integral ( 12 - u - 12 + u ) du e na integral:

Passo 8

Integrando termo a termo:
116 ( -ln|2 - u| - ln|2 + u| ) + C = 116 ln| 2 + u2 - u | + C

Passo 9

Substituindo de volta 116 ln( 2 + x^42 - x^4 ) + C :
[ 116 ln( 2 + 12 - 1 ) ] - [ 116 ln( 2 + 02 - 0 ) ] = 116 ln(3) - 0 = 116 ln(3)
Agora, aplicando os limites de integração de a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados