Calcular as integrais :

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com integração, especificamente uma integral racional onde o numerador é um polinômio e o denominador também é um polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral fazendo uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observamos que no denominador temos . Podemos notar que , então podemos reescrever o denominizador como .

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição . Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Podemos escrever o denominador como uma diferença de quadrados:
Isso nos permite usar a técnica de frações parciais para simplificar a integral.

Passo 6

Aplicando frações parciais:
Resolvendo para e :
Para encontrar e , igualamos os coeficientes:
Resolviendo, obtemos e .

Passo 7

Substituindo e na integral:

Passo 8

Integrando termo a termo:

Passo 9

Substituindo de volta :
Agora, aplicando os limites de integração de a :

Resposta

A integral vale .

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a)