Questão 5. (1,0)Determinar a altura do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz alpha dada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone circular reto com uma geratriz (ou seja, a medida do lado inclinado do cone) fixa, representada por alpha. Nosso objetivo é encontrar a altura desse cone que faz com que o volume seja o máximo possível. Isso envolve conceitos de geometria sobre cones e otimização para maximizar o volume.

Passo 2

Para começar, precisamos lembrar das fórmulas básicas de um cone. A geratriz alpha, a altura h e o raio da base r estão relacionados pela fórmula do triângulo retângulo formado pela altura, o raio e a geratriz:
Isso nos ajuda a relacionar h e r.

Passo 3

O volume V de um cone é dado pela fórmula:
Nosso objetivo é maximizar V em função de h ou r, sabendo que alpha é constante.

Passo 4

Vamos expressar r em termos de h usando a relação da geratriz:
Agora, substituímos essa expressão na fórmula do volume para que V dependa apenas de h:

Passo 5

Para encontrar o valor de h que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a h e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para h:

Resposta

A altura do cone que maximiza o volume, com geratriz alpha dada, é:

Exercícios relacionados