Questão 5. (1,0)Determinar a altura do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz dada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone circular reto com uma geratriz (ou seja, a medida do lado inclinado do cone) fixa, representada por . Nosso objetivo é encontrar a altura desse cone que faz com que o volume seja o máximo possível. Isso envolve conceitos de geometria sobre cones e otimização para maximizar o volume.

Passo 2

Para começar, precisamos lembrar das fórmulas básicas de um cone. A geratriz , a altura e o raio da base estão relacionados pela fórmula do triângulo retângulo formado pela altura, o raio e a geratriz:
Isso nos ajuda a relacionar e .

Passo 3

O volume de um cone é dado pela fórmula:
Nosso objetivo é maximizar em função de ou , sabendo que é constante.

Passo 4

Vamos expressar em termos de usando a relação da geratriz:
Agora, substituímos essa expressão na fórmula do volume para que dependa apenas de :

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :

Resposta

A altura do cone que maximiza o volume, com geratriz dada, é:

Exercícios relacionados

Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
a)
Calcular as derivadas:
Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se convergente, calcule-a.
a)
Questão 6. (1,0) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter volume de . O material usado para confeccionar a tampa e a base da caixa custa por e o material usado nas laterais custa por . Determine as dimensões da caixa de menor custo.