Questão 5. (1,0)Determinar a altura do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz
dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone circular reto com uma geratriz (ou seja, a medida do lado inclinado do cone) fixa, representada por
. Nosso objetivo é encontrar a altura desse cone que faz com que o volume seja o máximo possível. Isso envolve conceitos de geometria sobre cones e otimização para maximizar o volume.
Passo 2
Para começar, precisamos lembrar das fórmulas básicas de um cone. A geratriz
, a altura
e o raio da base
estão relacionados pela fórmula do triângulo retângulo formado pela altura, o raio e a geratriz:
Isso nos ajuda a relacionar
e
.
Passo 3
O volume
de um cone é dado pela fórmula:
Nosso objetivo é maximizar
em função de
ou
, sabendo que
é constante.
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
usando a relação da geratriz:
Agora, substituímos essa expressão na fórmula do volume para que
dependa apenas de
:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
A altura do cone que maximiza o volume, com geratriz
dada, é: