Calcular a área da região limitada à direita pela elipse: x = 3 cost, y = 2 sent e à esquerda pela reta x = (3 * raiz(3)) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que está à direita de uma elipse e à esquerda de uma reta específica. A elipse é dada pelas equações paramétricas e , e a reta é . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses, equações paramétricas e cálculo de áreas por integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse pode ser representada de forma paramétrica pelas equações e , onde e são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, e . Isso nos ajuda a visualizar a forma e tamanho da elipse.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação cartesiana da elipse para facilitar os cálculos. A partir das equações paramétricas:
Podemos isolar e . Sabemos que , então substituindo:
Essa é a equação cartesiana da elipse.

Passo 4

Vamos agora determinar os pontos onde a reta intercepta a elipse. Para isso, substituímos na equação da elipse:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Para encontrar a área desejada, vamos integrar em relação a entre e . Primeiro, resolvemos a equação da elipse para :
A área entre a reta e a elipse será duas vezes a integral de de até , já que a elipse é simétrica em relação ao eixo .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Á
Fazendo a substituição , então ou :
Á
Sabemos que . Então:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando por 12:

Resposta

A área da região limitada é unidades de área.

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