Calcular a área da região limitada à direita pela elipse: e à esquerda pela reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que está à direita de uma elipse e à esquerda de uma reta específica. A elipse é dada pelas equações paramétricas e , e a reta é . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses, equações paramétricas e cálculo de áreas por integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse pode ser representada de forma paramétrica pelas equações e , onde e são os semi-eixos da elipse. No nosso caso, e . Isso nos ajuda a visualizar a forma e tamanho da elipse.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação cartesiana da elipse para facilitar os cálculos. A partir das equações paramétricas:
Podemos isolar e . Sabemos que , então substituindo:
Essa é a equação cartesiana da elipse.

Passo 4

Vamos agora determinar os pontos onde a reta intercepta a elipse. Para isso, substituímos na equação da elipse:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Para encontrar a área desejada, vamos integrar em relação a entre e . Primeiro, resolvemos a equação da elipse para :
A área entre a reta e a elipse será duas vezes a integral de de até , já que a elipse é simétrica em relação ao eixo .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Á
Fazendo a substituição , então ou :
Á
Sabemos que . Então:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando por 12:

Resposta

A área da região limitada é unidades de área.

Exercícios relacionados

Se é a seção do cilindro parabólico , compreendida acima da regiāo retangular , entāo a integral da funçāo sobre vale
a) .
b) -4 .
c) .
d) .
e) .
Se é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e pela parábola , então
vale
a) .
b) .
c)
d) ,
e) ,
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência , partindo do ponto e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.