Calcular a área da região limitada à direita pela elipse:
e à esquerda pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que está à direita de uma elipse e à esquerda de uma reta específica. A elipse é dada pelas equações paramétricas
e
, e a reta é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre elipses, equações paramétricas e cálculo de áreas por integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse pode ser representada de forma paramétrica pelas equações
e
, onde
e
são os semi-eixos da elipse. No nosso caso,
e
. Isso nos ajuda a visualizar a forma e tamanho da elipse.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação cartesiana da elipse para facilitar os cálculos. A partir das equações paramétricas:
Podemos isolar
e
. Sabemos que
, então substituindo:
Essa é a equação cartesiana da elipse.
Passo 4
Vamos agora determinar os pontos onde a reta
intercepta a elipse. Para isso, substituímos
na equação da elipse:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Para encontrar a área desejada, vamos integrar em relação a
entre
e
. Primeiro, resolvemos a equação da elipse para
:
A área entre a reta e a elipse será duas vezes a integral de
de
até
, já que a elipse é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, então
ou
:
Sabemos que
. Então:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Multiplicando por 12:
Resposta
A área da região limitada é
unidades de área.