Se é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e pela parábola , então
vale
a) .
b) .
c)
d) ,
e) ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas , e pela parábola . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e depois resolver a integral .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, a parábola pode ser reescrita como . As retas que delimitam a região são (o eixo y) e . Então, é a área que está à direita do eixo y, abaixo de e à esquerda da parábola .

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em e depois em . Para cada , varia de até . E varia de 0 até 2. Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em :
Como é considerado constante durante a integração em , podemos tirar para fora da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de em relação a :
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 7

Substituindo na integral:
Agora, substituímos de volta:

Passo 8

Aplicamos os limites de 0 a 2:

Resposta

A integral vale . A opção correta é a letra b).

Exercícios relacionados

Calcular a área da região limitada à direita pela elipse: e à esquerda pela reta .
Se é a seção do cilindro parabólico , compreendida acima da regiāo retangular , entāo a integral da funçāo sobre vale
a) .
b) -4 .
c) .
d) .
e) .
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência , partindo do ponto e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.
Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região .
(b) Encontre de forma que é a massa de com densidade .