Se D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas x=0, y=2 e pela parábola y=raizx, então
integral duplaD 10 xy^5+1 d x d y
vale
a) ln 25.
b) ln 33.
c) ln 10
d) ln 12,
e) ln 27,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas , e pela parábola . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e depois resolver a integral .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, a parábola pode ser reescrita como . As retas que delimitam a região são (o eixo y) e . Então, é a área que está à direita do eixo y, abaixo de e à esquerda da parábola .

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em integral0^2 integral0^y^2 10xy^5+1 , dx , dy e depois em . Para cada , varia de até . E varia de 0 até 2. Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em integral0^y^2 10xy^5+1 , dx :
10y^5+1 integral0^y^2 x , dx
Como é considerado constante durante a integração em , podemos tirar para fora da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de integral x , dx = x^22 em relação a 10y^5+1 ( (y^2)^22 - 0^22 ) = 10y^5+1 cdot y^42 = 5y^4y^5+1 :
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^2 5y^4y^5+1 , dy
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar du = 5y^4 , dy . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral 5y^4y^5+1 , dy = integral 1u , du = ln|u| + C
Agora, substituímos ln(y^5 + 1) + C de volta:

Passo 8

Aplicamos os limites de 0 a 2:
ln(2^5 + 1) - ln(0^5 + 1) = ln(32 + 1) - ln(1) = ln(33) - 0 = ln(33)

Resposta

A integral vale . A opção correta é a letra b).

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