Se
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas
e pela parábola
, então
vale
a)
.
b)
.
c)
d)
,
e)
,
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região
no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas
,
e pela parábola
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região
e depois resolver a integral
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No primeiro quadrante, a parábola
pode ser reescrita como
. As retas que delimitam a região são
(o eixo y) e
. Então,
é a área que está à direita do eixo y, abaixo de
e à esquerda da parábola
.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para cada
,
varia de
até
. E
varia de 0 até 2. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em
:
Como
é considerado constante durante a integração em
, podemos tirar
para fora da integral:
Passo 5
Agora, calculamos a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Agora, substituímos
de volta:
Passo 8
Aplicamos os limites de 0 a 2:
Resposta
A integral vale
. A opção correta é a letra b).
Exercícios relacionados
Calcular a área da região limitada à direita pela elipse:
e à esquerda pela reta
.
Se
é a seção do cilindro parabólico
, compreendida acima da regiāo retangular
, entāo a integral da funçāo
sobre
vale
a) .
b) -4 .
c) .
d) .
e) .
a)
b) -4 .
c)
d)
e)
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
, partindo do ponto
e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região
.
(b) Encontre de forma que
é a massa de
com densidade
.
(a) Escreva
(b) Encontre