Se
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas
e pela parábola
, então
vale
a)
.
b)
.
c)
d)
,
e)
,
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular uma integral dupla sobre uma região
no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas
,
e pela parábola
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região
e depois resolver a integral
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No primeiro quadrante, a parábola
pode ser reescrita como
. As retas que delimitam a região são
(o eixo y) e
. Então,
é a área que está à direita do eixo y, abaixo de
e à esquerda da parábola
.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos decidir a ordem de integração. Vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para cada
,
varia de
até
. E
varia de 0 até 2. Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em
:
Como
é considerado constante durante a integração em
, podemos tirar
para fora da integral:
Passo 5
Agora, calculamos a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Agora, substituímos
de volta:
Passo 8
Aplicamos os limites de 0 a 2:
Resposta
A integral vale
. A opção correta é a letra b).