Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência , partindo do ponto e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e queremos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo da circunferência , começando e terminando no ponto e percorrendo uma volta no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por da diferença das derivadas parciais de em relação a e em relação a :
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, a diferença dessas derivadas é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o interior da circunferência . Como a região é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares para realizar a integração.
Em coordenadas polares, as transformações são:
Vamos substituir e na expressão que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Multiplicando por (vindo de ):

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Usamos identidades trigonométricas para simplificar:
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo as identidades na integral:
Integrando termo a termo:
Observando que os termos com seno vão zerar:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial ao percorrer a circunferência é .

Exercícios relacionados

Se é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e pela parábola , então
vale
a) .
b) .
c)
d) ,
e) ,
Calcular a área da região limitada à direita pela elipse: e à esquerda pela reta .
Seja a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência com equação . Considere uma função contínua cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região .
(b) Encontre de forma que é a massa de com densidade .
Calcule os limites. Justifique.