Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula ao longo da circunferência
, partindo do ponto
e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo da circunferência
, começando e terminando no ponto
e percorrendo uma volta no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
da diferença das derivadas parciais de
em relação a
e
em relação a
:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, a diferença dessas derivadas é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
, que é o interior da circunferência
. Como a região é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares para realizar a integração.
Em coordenadas polares, as transformações são:
Vamos substituir
e
na expressão que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Multiplicando
por
(vindo de
):
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Usamos identidades trigonométricas para simplificar:
Para
:
Para
:
Passo 8
Substituindo as identidades na integral:
Integrando termo a termo:
Observando que os termos com seno vão zerar:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial ao percorrer a circunferência é
.
Exercícios relacionados
Se
é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas
e pela parábola
, então
vale
a) .
b) .
c)
d) ,
e) ,
a)
b)
c)
d)
e)
Calcular a área da região limitada à direita pela elipse:
e à esquerda pela reta
.
Seja
a região circular do plano, cujo bordo é a circunferência
com equação
. Considere uma função contínua
cujas derivadas são contínuas.
(a) Escreva como uma integral dupla sobre a região
.
(b) Encontre de forma que
é a massa de
com densidade
.
(a) Escreva
(b) Encontre
Calcule os limites. Justifique.