Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
F(x, y) = -3y^5 i + 5x^3y^2 j
para mover uma partícula ao longo da circunferência x^2 + y^2 = 4, partindo do ponto 2,0 e retornando a esse ponto apenas uma vez, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e queremos calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula ao longo da circunferência , começando e terminando no ponto e percorrendo uma volta no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região plana. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por da diferença das derivadas parciais de em relação a e em relação a :
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Agora, a diferença dessas derivadas é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região , que é o interior da circunferência . Como a região é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares para realizar a integração.
Em coordenadas polares, as transformações são:
Vamos substituir e na expressão que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares:
Multiplicando por (vindo de ):

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Usamos identidades trigonométricas para simplificar:
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo as identidades na integral:
Integrando termo a termo:
Observando que os termos com seno vão zerar:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial ao percorrer a circunferência é .

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