Se S é a seção do cilindro parabólico 2z = x^2, compreendida acima da regiāo retangular D = {(x, y) em R^2 | 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2}, entāo a integral da funçāo f(x, y, z) = raiz(1 + 2 z) sobre S vale
a) 8 / 3.
b) -4 .
c) 5 / 2.
d) -2 / 5.
e) 7 / 4.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função sobre a superfície , que é a seção do cilindro parabólico acima da região retangular . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da superfície . Ela é dada por , o que podemos reescrever como . Isso nos mostra que depende apenas de e não de .

Passo 3

Para calcular a integral sobre a superfície, usamos a fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está definida.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula da integral:

Passo 6

Agora, substituímos na integral. Sabemos que , então:

Passo 7

Portanto, a integral fica:

Passo 8

A região é dada por e . Então, integramos em relação a de 0 a 2 e depois em relação a de 0 a 1:

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral da função sobre a superfície vale . Portanto, a alternativa correta é a) .

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