Se é a seção do cilindro parabólico , compreendida acima da regiāo retangular , entāo a integral da funçāo sobre vale
a) .
b) -4 .
c) .
d) .
e) .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função sobre a superfície , que é a seção do cilindro parabólico acima da região retangular . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação da superfície . Ela é dada por , o que podemos reescrever como . Isso nos mostra que depende apenas de e não de .

Passo 3

Para calcular a integral sobre a superfície, usamos a fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está definida.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula da integral:

Passo 6

Agora, substituímos na integral. Sabemos que , então:

Passo 7

Portanto, a integral fica:

Passo 8

A região é dada por e . Então, integramos em relação a de 0 a 2 e depois em relação a de 0 a 1:

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral da função sobre a superfície vale . Portanto, a alternativa correta é a) .

Exercícios relacionados

Qual integral tripla, em coordenadas cartesianas e na ordem , fornece o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo plano z=0 e pelas superfícies e ?
Calcular a área da região limitada à direita pela elipse: e à esquerda pela reta .
Se é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e pela parábola , então
vale
a) .
b) .
c)
d) ,
e) ,