Se é a seção do cilindro parabólico , compreendida acima da regiāo retangular , entāo a integral da funçāo sobre vale
a) .
b) -4 .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função sobre a superfície , que é a seção do cilindro parabólico acima da região retangular . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de superfície em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação da superfície . Ela é dada por , o que podemos reescrever como . Isso nos mostra que depende apenas de e não de .
Passo 3
Para calcular a integral sobre a superfície, usamos a fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual a superfície está definida.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula da integral:
Passo 6
Agora, substituímos na integral. Sabemos que , então:
Passo 7
Portanto, a integral fica:
Passo 8
A região é dada por e . Então, integramos em relação a de 0 a 2 e depois em relação a de 0 a 1:
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 10
Agora, integramos em relação a :
Resposta
A integral da função sobre a superfície vale . Portanto, a alternativa correta é a) .