Calcular a área da região onde está limitada pelas curvas:
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as curvas e . A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para isso, vamos precisar entender onde as duas funções se encontram e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções e se igualam. Como é o valor absoluto de , isso acontece onde é positivo ou zero. Vamos resolver a equação :
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das funções nos intervalos definidos pelas raízes:
  • Para e : é positivo ou zero, então .
  • Para : é negativo, então .
Isso significa que a região onde as curvas são diferentes está entre e .

Passo 4

Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre e no intervalo de a . Como nesse intervalo, a diferença .
Então, a área é:
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de 1 a 3:
Multiplicando pelo -2:

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcular tal que .
Determine o ponto da curva mais proximo do ponto .
Calcular as seguintes integrais:
Considere os triângulos retângulos no primeiro quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coordenados e a sua hipotenusa sendo o segmento que contem o ponto (2,3). Encontre o triângulo de área mínima.