Calcular f tal que integral0^raizx f(t) d t=x e^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a função tal que a integral de de até seja igual a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma integral definida com um limite variável, a derivada dessa integral em relação a esse limite é a função integranda avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada do limite.
No nosso caso, temos:
integral0^raizx f(t) , dt = x e^x
Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Aplicando a derivada no lado esquerdo usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, temos:
ddx ( integral0^raizx f(t) , dt ) = f(raizx) cdot ddx(raizx) = f(raizx) cdot ( 12raizx )
No lado direito, diferenciando ddx (x e^x) = e^x + x e^x = e^x(1 + x) em relação a :

Passo 4

Agora, temos a equação:
f(raizx) cdot ( 12raizx ) = e^x(1 + x)
Para isolar f(raizx) = 2raizx cdot e^x(1 + x) , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 5

Queremos expressar f(t) = 2t cdot e^t^2(1 + t^2) em termos de em vez de . Sabemos que , então . Substituindo por na equação anterior:

Resposta

A função f(t) = 2t cdot e^t^2 (1 + t^2) é dada por:

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