Calcular tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a função tal que a integral de de até seja igual a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma integral definida com um limite variável, a derivada dessa integral em relação a esse limite é a função integranda avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada do limite.
No nosso caso, temos:
Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 3

Aplicando a derivada no lado esquerdo usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, temos:
No lado direito, diferenciando em relação a :

Passo 4

Agora, temos a equação:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 5

Queremos expressar em termos de em vez de . Sabemos que , então . Substituindo por na equação anterior:

Resposta

A função é dada por:

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Determine o ponto da curva mais proximo do ponto .
d) e .
Calcular a área da região onde está limitada pelas curvas:
e .
Calcular as seguintes integrais: