Calcular
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a função
tal que a integral de
de
até
seja igual a
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais e derivadas. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se temos uma integral definida com um limite variável, a derivada dessa integral em relação a esse limite é a função integranda avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada do limite.
No nosso caso, temos:
Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 3
Aplicando a derivada no lado esquerdo usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, temos:
No lado direito, diferenciando
em relação a
:
Passo 4
Agora, temos a equação:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 5
Queremos expressar
em termos de
em vez de
. Sabemos que
, então
. Substituindo
por
na equação anterior:
Resposta
A função
é dada por: