Calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral . Vamos usar o método de frações parciais para simplificar essa integral. Isso significa que vamos decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a fração como uma soma de frações parciais. Como temos um fator quadrático e um fator linear elevado ao quadrado, nossa decomposição vai ter a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Vamos escolher valores estratégicos para para facilitar a resolução. Primeiro, coloque :
Agora, vamos substituir de volta na equação original e escolher outro valor para , por exemplo, :
Precisamos de mais equações para resolver , e . Explicando rapidinho, vamos expandir toda a expressão geral e igualar os coeficientes dos termos correspondentes de .

Passo 5

Explicando a teoria: quando expandimos as expressões e igualamos os coeficientes, estamos garantindo que a igualdade seja válida para todos os valores de . Assim, conseguimos um sistema de equações que nos permite encontrar as constantes desconhecidas.
Vamos expandir:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes de ambos os lados:
Já sabemos que . Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Substituindo na segunda equação:
  1. Terceira equação com :
Agora temos:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a primeira equação por 4:
Agora, somamos com a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
E como :

Resposta

Agora que temos todos os coeficientes, nossa decomposição fica:
Integrando cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Simplificando os coeficientes:
Onde é a constante de integração.

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e .
Calcular tal que .
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Calcule a primitivas da função sabendo que .