Calcular as seguintes integrais:
integral x d x(3 x^2+5)(x-2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral . Vamos usar o método de frações parciais para simplificar essa integral. Isso significa que vamos decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a fração x(3 x^2+5)(x-2)^2 = Ax + B3x^2 + 5 + Cx - 2 + D(x - 2)^2 como uma soma de frações parciais. Como temos um fator quadrático e um fator linear elevado ao quadrado, nossa decomposição vai ter a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum x = (Ax + B)(x - 2)^2 + C(3x^2 + 5)(x - 2) + D(3x^2 + 5) para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Vamos escolher valores estratégicos para 2 = D(3(2)^2 + 5) Rightarrow 2 = D(12 + 5) Rightarrow 2 = 17D Rightarrow D = 217 para facilitar a resolução. Primeiro, coloque 0 = (A(0) + B)(-2)^2 + C(3(0)^2 + 5)(-2) + 217(3(0)^2 + 5) :
0 = B cdot 4 - 10C + 1017
Agora, vamos substituir 4B - 10C = -1017 de volta na equação original e escolher outro valor para , por exemplo, :
Precisamos de mais equações para resolver , e . Explicando rapidinho, vamos expandir toda a expressão geral e igualar os coeficientes dos termos correspondentes de .

Passo 5

Explicando a teoria: quando expandimos as expressões e igualamos os coeficientes, estamos garantindo que a igualdade seja válida para todos os valores de x = (Ax + B)(x^2 - 4x + 4) + C(3x^2 + 5)(x - 2) + 217(3x^2 + 5) . Assim, conseguimos um sistema de equações que nos permite encontrar as constantes desconhecidas.
Vamos expandir:
x = Ax^3 - 4Ax^2 + 4Ax + Bx^2 - 4Bx + 4B + 3Cx^3 - 6Cx^2 + 5Cx - 10C + 6x^2 + 1017
x = (A + 3C)x^3 + (-4A + B - 6C + 617)x^2 + (4A - 4B + 5C)x + (4B - 10C + 1017)
Agrupando termos semelhantes:
A + 3C = 0 -4A + B - 6C + 617 = 0 4A - 4B + 5C = 1 4B - 10C + 1017 = 0
Igualando os coeficientes de ambos os lados:
Já sabemos que . Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. -4(-3C) + B - 6C + 617 = 0 Rightarrow 12C + B - 6C + 617 = 0 Rightarrow B + 6C = -617
  2. Substituindo 4(-3C) - 4B + 5C = 1 Rightarrow -12C - 4B + 5C = 1 Rightarrow -7C - 4B = 1 na segunda equação:
B + 6C = -617 -7C - 4B = 1
  1. Terceira equação com 4B + 24C = -2417 :
-7C - 4B = 1 + 4B + 24C = -2417 hline 17C = 1 - 2417 = 1717 - 2417 = -717 Rightarrow C = -717 cdot 17 = -7289
Agora temos:
B + 6(-7289) = -617 Rightarrow B - 42289 = -617
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a primeira equação por 4:
B = -617 + 42289 = -102289 + 42289 = -60289
Agora, somamos com a segunda equação:
Substituindo A = -3(-7289) = 21289 na primeira equação:
E como :

Resposta

Agora que temos todos os coeficientes, nossa decomposição fica:
x(3 x^2+5)(x-2)^2 = 21289x - 602893x^2 + 5 + -7289x - 2 + 217(x - 2)^2
Integrando cada termo separadamente:
integral x , dx(3 x^2+5)(x-2)^2 = 21289 integral x , dx3x^2 + 5 - 60289 integral dx3x^2 + 5 - 7289 integral dxx - 2 + 217 integral dx(x - 2)^2
Calculando as integrais:
21289 cdot 16 ln|3x^2 + 5| - 60289 cdot 1raiz15 arctan(raiz3xraiz5) - 7289 ln|x - 2| - 217 cdot 1x - 2 + C
Simplificando os coeficientes:
7578 ln|3x^2 + 5| - 60289raiz15 arctan(raiz3xraiz5) - 7289 ln|x - 2| - 217(x - 2) + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados