Determine o ponto da curva mais proximo do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ponto na curva que está mais próximo do ponto . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e otimização usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouco de cálculo para encontrar o mínimo dessa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer na curva , que podemos chamar de , e o ponto . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 3

Para facilitar a resolução, em vez de minimizar , vamos minimizar , já que a raiz quadrada é uma função crescente e o mínimo será o mesmo. Então temos:

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação , temos duas possibilidades:

Passo 6

Vamos verificar qual desses valores de realmente minimiza a distância. Substituindo na expressão de :
  • Para :
  • Para e :
Como , os valores nos dão a menor distância.

Resposta

O(s) ponto(s) da curva mais próximo(s) do ponto são e .

Exercícios relacionados

d) e .
f) .
Calcular tal que .
Calcular a área da região onde está limitada pelas curvas:
e .