Determine o ponto da curva
mais proximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ponto na curva
que está mais próximo do ponto
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre distância entre pontos e otimização usando derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouco de cálculo para encontrar o mínimo dessa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. A fórmula para a distância
entre dois pontos
e
é:
No nosso caso, queremos a distância entre um ponto qualquer na curva
, que podemos chamar de
, e o ponto
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 3
Para facilitar a resolução, em vez de minimizar
, vamos minimizar
, já que a raiz quadrada é uma função crescente e o mínimo será o mesmo. Então temos:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação
, temos duas possibilidades:
Passo 6
Vamos verificar qual desses valores de
realmente minimiza a distância. Substituindo
na expressão de
:
-
Para
: -
Para
e :
Como
, os valores
nos dão a menor distância.
Resposta
O(s) ponto(s) da curva
mais próximo(s) do ponto
são
e
.