Considere os triângulos retângulos no primeiro quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coordenados e a sua hipotenusa sendo o segmento que contem o ponto (2,3). Encontre o triângulo de área mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar o triângulo retângulo no primeiro quadrante, com os lados apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa passa pelo ponto (2,3). Além disso, queremos descobrir qual desses triângulos tem a menor área. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e cálculo de área de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o triângulo retângulo no primeiro quadrante. Os lados que estão nos eixos são os catetos, e a hipotenusa é a reta que une os pontos onde os catetos interceptam os eixos. Vamos chamar os pontos de interseção com os eixos de e . Assim, a hipotenusa é a reta que liga e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação dessa hipotenusa. Sabemos que uma reta que passa pelos pontos e tem a seguinte inclinação:
Então, a equação da hipotenusa pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Passo 4
Sabemos que o ponto está na hipotenusa. Portanto, ele deve satisfazer a equação da reta que acabamos de encontrar:
Vamos resolver essa equação para relacionar e .
Passo 5
Simplificando a equação:
Vamos somar dos dois lados para isolar termos com :
Agora, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar o denominador:
Passo 6
Queremos expressar em função de . Vamos reorganizar a equação formada:
Fatorando do lado esquerdo:
Isolando :
Passo 7
A área de um triângulo retângulo é dada por:
Substituindo pela expressão encontrada:
Passo 8
Agora, queremos encontrar o valor de que minimiza a área . Para isso, vamos derivar em relação a e encontrar onde a derivada é zero.
Vamos reescrever :
Passo 9
Calculando a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Passo 10
Vamos encontrar onde :
Portanto, ou . Como não faz sentido no contexto (o triângulo não existiria), temos .
Passo 11
Com , substituímos na expressão de :
Passo 12
Agora, calculamos a área mínima usando e :
Resposta
O triângulo retângulo com área mínima tem os catetos de comprimento 4 e 6, e a área mínima é igual a 12 unidades quadradas.