Considere os triângulos retângulos no primeiro quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coordenados e a sua hipotenusa sendo o segmento que contem o ponto (2,3). Encontre o triângulo de área mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar o triângulo retângulo no primeiro quadrante, com os lados apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa passa pelo ponto (2,3). Além disso, queremos descobrir qual desses triângulos tem a menor área. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e cálculo de área de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o triângulo retângulo no primeiro quadrante. Os lados que estão nos eixos são os catetos, e a hipotenusa é a reta que une os pontos onde os catetos interceptam os eixos. Vamos chamar os pontos de interseção com os eixos de e . Assim, a hipotenusa é a reta que liga e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação dessa hipotenusa. Sabemos que uma reta que passa pelos pontos e tem a seguinte inclinação:
Então, a equação da hipotenusa pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:

Passo 4

Sabemos que o ponto está na hipotenusa. Portanto, ele deve satisfazer a equação da reta que acabamos de encontrar:
Vamos resolver essa equação para relacionar e .

Passo 5

Simplificando a equação:
Vamos somar dos dois lados para isolar termos com :
Agora, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar o denominador:

Passo 6

Queremos expressar em função de . Vamos reorganizar a equação formada:
Fatorando do lado esquerdo:
Isolando :

Passo 7

A área de um triângulo retângulo é dada por:
Substituindo pela expressão encontrada:

Passo 8

Agora, queremos encontrar o valor de que minimiza a área . Para isso, vamos derivar em relação a e encontrar onde a derivada é zero.
Vamos reescrever :

Passo 9

Calculando a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:

Passo 10

Vamos encontrar onde :
Portanto, ou . Como não faz sentido no contexto (o triângulo não existiria), temos .

Passo 11

Com , substituímos na expressão de :

Passo 12

Agora, calculamos a área mínima usando e :

Resposta

O triângulo retângulo com área mínima tem os catetos de comprimento 4 e 6, e a área mínima é igual a 12 unidades quadradas.

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