Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta y = 4 x, 0 <= x <= 4
b) Ao redor do eixo dos y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície de um cone que é formado quando a reta , no intervalo , gira em torno do eixo dos . Vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente a fórmula para a área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa girar a reta em torno do eixo dos . Imagine pegar essa reta e girá-la 360 graus ao redor do eixo vertical . Isso vai formar um cone, e queremos saber a área dessa superfície.

Passo 3

Para calcular a área da superfície gerada por essa rotação, usamos a fórmula de área de superfície de revolução em torno do eixo :
Mas como nossa função está em termos de , vamos reescrever a fórmula em termos de :
Aqui, é a derivada de em relação a , e e são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 4.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função :
Agora, substituímos essa derivada na fórmula:

Passo 5

A expressão é constante, então podemos tirá-la da integral:
Agora, vamos calcular a integral :

Passo 6

Substituindo o valor da integral na expressão da área:

Resposta

A área da superfície do cone é unidades de área.

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