Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
b) Ao redor do eixo dos
.
b) Ao redor do eixo dos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície de um cone que é formado quando a reta
, no intervalo
, gira em torno do eixo dos
. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente a fórmula para a área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa girar a reta
em torno do eixo dos
. Imagine pegar essa reta e girá-la 360 graus ao redor do eixo vertical
. Isso vai formar um cone, e queremos saber a área dessa superfície.
Passo 3
Para calcular a área da superfície gerada por essa rotação, usamos a fórmula de área de superfície de revolução em torno do eixo
:
Mas como nossa função está em termos de
, vamos reescrever a fórmula em termos de
:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são 0 e 4.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
da função
:
Agora, substituímos essa derivada na fórmula:
Passo 5
A expressão
é constante, então podemos tirá-la da integral:
Agora, vamos calcular a integral
:
Passo 6
Substituindo o valor da integral na expressão da área:
Resposta
A área da superfície do cone é
unidades de área.