Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O que a questão está pedindo é para calcular essa integral usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa técnica e identificar quais partes da nossa integral vão ser escolhidas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, e são partes da nossa integral original que precisamos escolher estrategicamente para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos escolher e na nossa integral :
  • Escolha de : Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar. Neste caso, vamos escolher .
  • Escolha de : O restante será , então .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificamos a integral que ficou:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral restante:
Então, substituímos de volta:

Resposta

Portanto, a integral de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
e)
Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
b) Ao redor do eixo dos .
Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
g)
Calcular as integrais definidas.
l)