Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O que a questão está pedindo é para calcular essa integral usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa técnica e identificar quais partes da nossa integral vão ser escolhidas como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui,
e
são partes da nossa integral original que precisamos escolher estrategicamente para facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, vamos escolher
e
na nossa integral
:
- Escolha de
: Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar. Neste caso, vamos escolher . - Escolha de
: O restante será , então .
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificamos a integral que ficou:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral restante:
Então, substituímos de volta:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
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e)
e)
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b) Ao redor do eixo dos .
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g)
g)
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l)
l)