Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
k) integral x^3 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 ln x , dx. O que a questão está pedindo é para calcular essa integral usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa técnica e identificar quais partes da nossa integral vão ser escolhidas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, e são partes da nossa integral original que precisamos escolher estrategicamente para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos escolher e na nossa integral :
  • Escolha de : Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples ao derivar. Neste caso, vamos escolher .
  • Escolha de : O restante será , então .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx e v = integral x^3 , dx = x^44 :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 ln x , dx = ln x cdot x^44 - integral x^44 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificamos a integral que ficou:
ln x cdot x^44 - integral x^44 cdot 1x , dx = x^4 ln x4 - 14 integral x^3 , dx

Passo 7

Agora, resolvemos a integral restante:
integral x^3 , dx = x^44
Então, substituímos de volta:
x^4 ln x4 - 14 cdot x^44 = x^4 ln x4 - x^416

Resposta

Portanto, a integral de integral x^3 ln x , dx = x^4 ln x4 - x^416 + C é:
onde é a constante de integração.

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