Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) e

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas dadas são:
  • : é uma reta que começa em quando e sobe com inclinação 1.
  • : é o eixo .
  • : é uma linha vertical que corta o eixo no ponto 2.
  • : é o eixo .
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a região que será girada.

Passo 3

Agora, vamos pensar em como calcular o volume usando o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em fatias fininhas circulares (discos) perpendiculares ao eixo de rotação (no nosso caso, o eixo dos ). A área de cada disco é , e o volume total é a soma de todas essas áreas multiplicadas pela espessura das fatias.

Passo 4

Para aplicar o método dos discos, precisamos expressar o raio de cada disco em termos de . Aqui, o raio é a distância do eixo dos até a curva . Então, o raio é simplesmente .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral que representa o volume. A fórmula geral para o método dos discos é:
Onde e são os limites de integração (os valores de ).

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando um volume definido entre 0 e 2, vamos avaliar de 0 a 2:

Passo 9

Calculando os valores:
Somando:
Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
a) e
Calcular as integrais definidas.
h)
Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
b) Ao redor do eixo dos .
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
e)