Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a)
e
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos uma região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas dadas são:
-
: é uma reta que começa em quando e sobe com inclinação 1. -
: é o eixo . -
: é uma linha vertical que corta o eixo no ponto 2. -
: é o eixo .
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a região
que será girada.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular o volume usando o método dos discos. Esse método envolve dividir o sólido em fatias fininhas circulares (discos) perpendiculares ao eixo de rotação (no nosso caso, o eixo dos
). A área de cada disco é
, e o volume total é a soma de todas essas áreas multiplicadas pela espessura das fatias.
Passo 4
Para aplicar o método dos discos, precisamos expressar o raio de cada disco em termos de
. Aqui, o raio é a distância do eixo dos
até a curva
. Então, o raio
é simplesmente
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral que representa o volume. A fórmula geral para o método dos discos é:
Onde
e
são os limites de integração (os valores de
).
Passo 6
Substituindo
na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Como estamos calculando um volume definido entre 0 e 2, vamos avaliar de 0 a 2:
Passo 9
Calculando os valores:
Somando:
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
a) e
a)
Calcular as integrais definidas.
h)
h)
Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
b) Ao redor do eixo dos .
b) Ao redor do eixo dos
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
e)
e)